Prove que
não existe, quando:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que o limite de
quando
se aproxima de
não existe. Para isso, vamos usar o conceito de limites em várias direções e mostrar que, dependendo do caminho que escolhermos para chegar em
, o resultado do limite muda. Vamos precisar conhecer um pouco sobre limites multivariáveis e como avaliar limites ao longo de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um caminho simples para aproximar
. Vamos tentar o eixo
, ou seja, definir
. Substituindo na função:
Então, ao aproximar pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho. Vamos tentar a linha
, onde
é uma constante que vamos determinar. Substituindo na função:
Simplificando:
Para que o limite exista de forma diferente de 0, precisamos que o expoente
, ou seja,
.
Passo 4
Com
, o caminho fica
. Substituindo na função:
Então, ao aproximar pelo caminho
, o limite é
.
Passo 5
Como obtivemos dois resultados diferentes ao calcular o limite por caminhos distintos (
pelo eixo
e
pelo caminho
), isso mostra que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
Assim, concluímos que
não existe.