Prove que
não existe, quando:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que o limite de
quando
se aproxima de
não existe. Para isso, vamos usar o conceito de limites em várias direções e mostrar que, dependendo do caminho que escolhermos para chegar em
, o resultado do limite muda. Vamos precisar conhecer um pouco sobre limites multivariáveis e como avaliar limites ao longo de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um caminho simples para aproximar
. Vamos tentar o eixo
, ou seja, definir
. Substituindo na função:
Então, ao aproximar pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho. Vamos tentar a linha
, onde
é uma constante que vamos determinar. Substituindo na função:
Simplificando:
Para que o limite exista de forma diferente de 0, precisamos que o expoente
, ou seja,
.
Passo 4
Com
, o caminho fica
. Substituindo na função:
Então, ao aproximar pelo caminho
, o limite é
.
Passo 5
Como obtivemos dois resultados diferentes ao calcular o limite por caminhos distintos (
pelo eixo
e
pelo caminho
), isso mostra que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
Assim, concluímos que
não existe.
Exercícios relacionados
Faça o mapa de contorno da função, mostrando as curvas de nível nos números dados:
em
e 4 .
Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(a)
(a)
Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(d)
(d)
Encontre o raio e o domínio de convergência da série
.