Prove que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, quando: f(x, y)=x y^2x^2+y^4

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que o limite de quando se aproxima de não existe. Para isso, vamos usar o conceito de limites em várias direções e mostrar que, dependendo do caminho que escolhermos para chegar em , o resultado do limite muda. Vamos precisar conhecer um pouco sobre limites multivariáveis e como avaliar limites ao longo de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um caminho simples para aproximar f(x, 0) = x cdot 0^2x^2+0^4 = 0x^2 = 0 . Vamos tentar o eixo , ou seja, definir . Substituindo na função:
Então, ao aproximar pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho. Vamos tentar a linha f(x, x^k) = x cdot (x^k)^2x^2 + (x^k)^4 = x cdot x^2kx^2 + x^4k , onde f(x, x^k) = x^2k + 1x^2 + x^4k = x^2k -11 + x^4k -2 é uma constante que vamos determinar. Substituindo na função:
Simplificando:
Para que o limite exista de forma diferente de 0, precisamos que o expoente , ou seja, .

Passo 4

Com f(x, raizx) = x cdot (raizx)^2x^2 + (raizx)^4 = x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12 , o caminho fica . Substituindo na função:
Então, ao aproximar pelo caminho , o limite é .

Passo 5

Como obtivemos dois resultados diferentes ao calcular o limite por caminhos distintos ( pelo eixo e pelo caminho ), isso mostra que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

Assim, concluímos que não existe.

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