Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty n^2 x^n2^n(-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita:
sumn=1^infty n^2 x^n2^n(-1)^n
Matéria envolvida: Estamos trabalhando com séries de potências e vamos utilizar o teste da razão para determinar o raio e o intervalo de convergência.
O que vamos precisar: Conhecer o teste da razão e como aplicá-lo em séries de potências para encontrar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a descobrir se uma série infinita converge ou não, calculando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série.
A fórmula do teste da razão é:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o teste da razão na nossa série, primeiro identificamos an = n^2 x^n2^n(-1)^n :
an+1 = (n+1)^2 x^n+12^n+1(-1)^n+1
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos formar a razão | an+1an | = | (n+1)^2 x^n+1 cdot 2^n2^n+1 cdot n^2 x^n cdot (-1)^n+1(-1)^n | :
| (n+1)^2 x cdot 2^n2^n+1 cdot n^2 | = | (n+1)^2 x2 n^2 |
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | (n+1)^2 x2 n^2 | tende ao infinito:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Vamos expandir L = limn to infty | n^2 + 2n + 12 n^2 x | = limn to infty | 1 + 2n + 1n^22 x | = | 12 x | :
Então,

Passo 6

Segundo o teste da razão, para a série convergir, devemos ter:
| 12 x | < 1
Resolvendo a desigualdade:
|x| < 2
Então, o raio de convergência é 2.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de -2 < x < 2 para os quais a série converge. Sabemos que , então o intervalo preliminar é:
Entretanto, precisamos verificar o comportamento da série nos pontos finais e .

Passo 8

Para sumn=1^infty n^2 cdot 2^n2^n (-1)^n = sumn=1^infty n^2 (-1)^n :
Substituindo na série:
sumn=1^infty n^2 cdot (-2)^n2^n (-1)^n = sumn=1^infty n^2 (-1)^n cdot (-1)^n = sumn=1^infty n^2
Essa série é uma série alternada, mas os termos não tendem a zero conforme cresce. Pelo teste da divergença, a série diverge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é a série dos quadrados naturais, que sabemos que diverge.

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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y=sumn=0^infty an x^n
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