Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita:
Matéria envolvida: Estamos trabalhando com séries de potências e vamos utilizar o teste da razão para determinar o raio e o intervalo de convergência.
O que vamos precisar: Conhecer o teste da razão e como aplicá-lo em séries de potências para encontrar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a descobrir se uma série infinita converge ou não, calculando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série.
A fórmula do teste da razão é:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o teste da razão na nossa série, primeiro identificamos an = n^2 x^n2^n(-1)^n :
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | (n+1)^2 x2 n^2 | tende ao infinito:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Vamos expandir L = limn to infty | n^2 + 2n + 12 n^2 x | = limn to infty | 1 + 2n + 1n^22 x | = | 12 x | :
Então,
Passo 6
Segundo o teste da razão, para a série convergir, devemos ter:
| 12 x | < 1
Resolvendo a desigualdade:
|x| < 2
Então, o raio de convergência é 2.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de -2 < x < 2 para os quais a série converge. Sabemos que , então o intervalo preliminar é:
Entretanto, precisamos verificar o comportamento da série nos pontos finais e .