Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando séries de potência centradas em
. Para isso, vamos representar
como uma soma infinita de potências de
:
Vamos precisar calcular as derivadas de
, substituí-las na equação diferencial e encontrar uma fórmula que relacione os coeficientes
. Isso tudo envolve conhecimentos de séries de potência e manipulação de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Passo 4
Distribuindo os termos:
Passo 5
Vamos reindexar os somatórios para ter todas as potências de
. Por exemplo, para o segundo somatório, fazemos
:
Agora, substituímos
por
no segundo somatório:
Passo 6
Para combinar os somatórios, ajustamos os limites para todos começarem em
:
Passo 7
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Para que a soma seja igual a zero para todo
, cada coeficiente de
deve ser zero:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para
:
Isso nos dá a fórmula de recorrência para os coeficientes da série.
Passo 10
Com a relação de recorrência estabelecida, podemos construir a série de potência para
em termos de
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por uma série de potência centrada em
:
com a fórmula de recorrência para os coeficientes:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.