Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
(x^2-4) y^prime prime-2 x y^prime+9 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y = sumn=0^infty an x^n usando séries de potência centradas em . Para isso, vamos representar como uma soma infinita de potências de :
Vamos precisar calcular as derivadas de , substituí-las na equação diferencial e encontrar uma fórmula que relacione os coeficientes . Isso tudo envolve conhecimentos de séries de potência e manipulação de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de y' = sumn=1^infty n an x^n-1 :
y'' = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 3

Agora, vamos substituir (x^2 - 4)(sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2) - 2x (sumn=1^infty n an x^n-1) + 9 (sumn=0^infty an x^n) = 0 , e na equação original:

Passo 4

Distribuindo os termos:
sumn=2^infty n(n-1) an x^n - 4 sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - 2 sumn=1^infty n an x^n + 9 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 5

Vamos reindexar os somatórios para ter todas as potências de sumn=2^infty n(n-1) an x^n - 4 summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m - 2 sumn=1^infty n an x^n + 9 sumn=0^infty an x^n = 0 . Por exemplo, para o segundo somatório, fazemos sumn=2^infty n(n-1) an x^n - 4 sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - 2 sumn=1^infty n an x^n + 9 sumn=0^infty an x^n = 0 :
Agora, substituímos por no segundo somatório:

Passo 6

Para combinar os somatórios, ajustamos os limites para todos começarem em sumn=0^infty n(n-1) an x^n - 4 sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - 2 sumn=0^infty n an x^n + 9 sumn=0^infty an x^n = 0 :

Passo 7

Agrupando os termos semelhantes:
sumn=0^infty [ n(n-1)an - 4(n+2)(n+1)an+2 - 2n an + 9an ] x^n = 0

Passo 8

Para que a soma seja igual a zero para todo n(n-1)an - 4(n+2)(n+1)an+2 - 2n an + 9an = 0 , cada coeficiente de [n(n-1) - 2n + 9] an - 4(n+2)(n+1)an+2 = 0 deve ser zero:
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo para an+2 = n(n-1) - 2n + 94(n+2)(n+1) an :
Isso nos dá a fórmula de recorrência para os coeficientes da série.

Passo 10

Com a relação de recorrência estabelecida, podemos construir a série de potência para y = a0 (1 - 98x^2 + dots) + a1 (x - 98x^3 + dots) em termos de e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por uma série de potência centrada em y = sumn=0^infty an x^n :
an+2 = n(n - 1) - 2n + 94(n + 2)(n + 1) an
com a fórmula de recorrência para os coeficientes:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
f(x, t) = raiz(x) * ln(t)
Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
y^prime prime-x^2 y^prime+x y=0
Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty n^2 x^n2^n(-1)^n
Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
(x-1) y^prime prime+3 y=0