Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
y^prime prime-x^2 y^prime+x y=0

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
y'' - x^2 y' + x y = 0
E a tarefa é resolver essa equação usando uma série de potência centrada em . Pra isso, vamos precisar entender como representar , e como séries de potências e depois igualar os coeficientes para encontrar uma fórmula de recorrência para os termos .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potência:
y' = sumn=1^infty n an x^n-1
Isso significa que y'' = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 e também podem ser representados como séries:

Passo 3

Agora, vamos substituir sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 - x^2 sumn=1^infty n an x^n-1 + x sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação original:

Passo 4

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=1^infty n an x^n+1 + sumn=0^infty an x^n+1 = 0 . Vamos fazer isso mudando o índice em de para :

Passo 5

Agora, vamos reescrever as somas para que todas comecem em sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=0^infty (n) an x^n+1 + sumn=0^infty an x^n+1 = 0 e tenham a mesma potência de :

Passo 6

Vamos ajustar novamente as potências de sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=0^infty n an x^n + sumn=0^infty an x^n = 0 para igualar os índices. Isso envolve mudar o índice nas segundas e terceiras somas:

Passo 7

Agora, podemos combinar as somas:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 - n an + an ] x^n = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo (n+2)(n+1) an+2 - n an + an = 0 , cada coeficiente de deve ser igual a zero:

Passo 8

Vamos simplificar a equação para encontrar a fórmula de recorrência:
(n+2)(n+1) an+2 = (n - 1) an
an+2 = (n - 1)(n+2)(n+1) an

Resposta

A fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potência é:
an+2 = n - 1(n+2)(n+1) an
Então, a solução geral em série de potência centrada em y = sumn=0^infty an x^n é:
onde os coeficientes são definidos pela relação de recorrência acima.

Exercícios relacionados

Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (x-2)^nn^n
Encontre a série de Taylor de f(x) centrada em x_0 :
f(x) = (1 - x)^(-2) com centro em x0 = 0
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
f(x, t) = raiz(x) * ln(t)
Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
(x^2-4) y^prime prime-2 x y^prime+9 y=0