Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
E a tarefa é resolver essa equação usando uma série de potência centrada em
. Pra isso, vamos precisar entender como representar
,
e
como séries de potências e depois igualar os coeficientes para encontrar uma fórmula de recorrência para os termos
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potência:
Isso significa que
e
também podem ser representados como séries:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Passo 4
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de
. Vamos fazer isso mudando o índice em
de
para
:
Passo 5
Agora, vamos reescrever as somas para que todas comecem em
e tenham a mesma potência de
:
Passo 6
Vamos ajustar novamente as potências de
para igualar os índices. Isso envolve mudar o índice nas segundas e terceiras somas:
Passo 7
Agora, podemos combinar as somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero:
Passo 8
Vamos simplificar a equação para encontrar a fórmula de recorrência:
Resposta
A fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potência é:
Então, a solução geral em série de potência centrada em
é:
onde os coeficientes
são definidos pela relação de recorrência acima.
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centrada em
:
com centro em
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Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.