Encontre o raio e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender séries de potências e aplicar o teste da razão para determinar onde a série converge.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série de potências. O teste da razão considera o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge. Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Identificamos o termo geral da série:
an = (3x - 2)^nn
Agora, calculamos an+1 = (3x - 2)^n+1n+1 :
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (3x - 2)^n+1n+1 cdot n(3x - 2)^n | = limn to infty | (3x - 2) cdot nn+1 |
Aplicando o teste da razão:
L = |3x - 2| cdot limn to infty nn+1 = |3x - 2| cdot 1 = |3x - 2|
Simplificando:
Passo 4
Para que a série convirja, precisamos que |3x - 2| < 1 :
-1 < 3x - 2 < 1
Resolvendo essa desigualdade:
1 < 3x < 3
Adicionando 2 em todas as partes:
13 < x < 1
Dividindo por 3:
R = 23 div 2 = 13
O raio de convergência é a metade do comprimento do intervalo de convergência. Aqui, o intervalo tem comprimento , então:
Passo 5
Agora, vamos verificar os extremos do intervalo para determinar se eles pertencem ao intervalo de convergência.
Para 3 cdot 13 - 2 = 1 - 2 = -1 :
sumn=1^infty (-1)^nn
A série fica:
3 cdot 1 - 2 = 1
Essa é uma série alternada que converge pelo teste da série alternada.
Para sumn=1^infty 1n :
A série fica:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .