Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas, que é um tópico de cálculo onde analisamos se a soma de infinitos termos resulta em um valor finito (convergente) ou não (divergente). Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o teste da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é . Como a série é infinita, nosso objetivo é entender o comportamento desse termo quando cresce bastante, ou seja, quando vai para o infinito.
Passo 3
Vamos simplificar o termo geral para facilitar a análise. Observa que:
Agora, vamos analisar o que acontece com 2nn+1 = 21 + 1n approx 2 quando n to infty quando (2nn+1)^5n approx 2^5n fica muito grande. Dividindo numerador e denominador por :
Então, para grande, o termo geral fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, pensamos no limite do termo geral quando limn to infty 2^5n = infty tende ao infinito:
Como o limite do termo geral não é zero (na verdade, vai para o infinito), pelo teste da divergência, a série diverge. O teste da divergência diz que se o limite do termo geral não for zero, a série não converge.