Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=2^infty(-2 nn+1)^5 n

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas, que é um tópico de cálculo onde analisamos se a soma de infinitos termos resulta em um valor finito (convergente) ou não (divergente). Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o teste da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é . Como a série é infinita, nosso objetivo é entender o comportamento desse termo quando cresce bastante, ou seja, quando vai para o infinito.

Passo 3

Vamos simplificar o termo geral para facilitar a análise. Observa que:
|-2nn+1|^5n = (2nn+1)^5n
Agora, vamos analisar o que acontece com 2nn+1 = 21 + 1n approx 2 quando n to infty quando (2nn+1)^5n approx 2^5n fica muito grande. Dividindo numerador e denominador por :
Então, para grande, o termo geral fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, pensamos no limite do termo geral quando limn to infty 2^5n = infty tende ao infinito:
Como o limite do termo geral não é zero (na verdade, vai para o infinito), pelo teste da divergência, a série diverge. O teste da divergência diz que se o limite do termo geral não for zero, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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