Encontre o raio e o intervalo de convergência para as Séries de Potências:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar um pouco de cálculo de séries e análise de convergência. Vamos precisar aplicar o teste da razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da série de potências. Aqui, temos:
Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos aplicar o teste da razão.
Passo 3
O teste da razão diz que, para a série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1) cdot x-25 cdot ( nn+1 )^5 | tende ao infinito:
L = | x-25 |
Como tende a 1 quando vai para o infinito, temos:
Passo 7
Para a série convergir, precisamos que | x-25 | < 1 :
-1 < x-25 < 1
Isso significa que:
-5 < x - 2 < 5
Multiplicando tudo por 5:
-3 < x < 7
Adicionando 2 em todos os lados:
Passo 8
O raio de convergência R = 102 = 5 é a metade do comprimento do intervalo de convergência. Aqui, o intervalo vai de -3 a 7, que tem comprimento 10. Então:
Passo 9
Agora, vamos verificar os extremos do intervalo sumn=1^infty (-1)^n (-3 - 2)^n5^n n^5 = sumn=1^infty (-1)^n (-5)^n5^n n^5 = sumn=1^infty (-1)^n (-1)^n 5^n5^n n^5 = sumn=1^infty 1n^5 e sumn=1^infty (-1)^n (7 - 2)^n5^n n^5 = sumn=1^infty (-1)^n 5^n5^n n^5 = sumn=1^infty (-1)^nn^5 para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série com , que converge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada com , que também converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .