Encontre o raio e o intervalo de convergência da série. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Estamos lidando com séries de potências, e para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão para descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A regra é: se , então a série converge se .
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, .
Passo 4
Vamos calcular a razão entre o termo seguinte e o termo atual:
Tomamos o valor absoluto para o teste:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , a série converge para qualquer valor de .
Passo 6
Como o limite da razão é sempre menor que 1 para qualquer , isso significa que o raio de convergência é infinito. Portanto, a série converge para todos os números reais.
Resposta
O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).