Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
sumn=1^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Estamos lidando com séries de potências, e para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão para descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A regra é: se , então a série converge se .

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, .

Passo 4

Vamos calcular a razão entre o termo seguinte e o termo atual:
Tomamos o valor absoluto para o teste:
an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!(-1)^n x^2n+1(2n+1)! = - x^2n+3(2n+3)! times (2n+1)!x^2n+1 = - x^2(2n+3)(2n+2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty x^2(2n+3)(2n+2) = limn to infty x^24n^2 + 10n + 6 = 0 tende ao infinito:
Como , a série converge para qualquer valor de .

Passo 6

Como o limite da razão é sempre menor que 1 para qualquer , isso significa que o raio de convergência é infinito. Portanto, a série converge para todos os números reais.

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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