Encontre o raio e o intervalo de convergência da série. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são muito comuns em cálculo. Para descobrir o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert), que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste consiste em calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então:
Tomamos o valor absoluto:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite :
Simplificando a expressão dentro do limite:
Portanto,
Passo 4
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que :
Isso significa que deve estar a menos de 1 unidade de 3. Vamos resolver essa desigualdade:
Somando 3 em todos os lados:
Então, o intervalo provisório de convergência é .
Passo 5
Agora, precisamos verificar as extremidades do intervalo, ou seja, e , para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Substituindo na série:
Essa série é harmônica e diverge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada onde os termos decrescem e tendem a zero, então pelo Teste da Série Alternada, ela converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .