Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
sumn=1^+infty(-1)^n (x-3)^n2 n+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio sumn=1^+infty(-1)^n (x-3)^n2n+1 e o intervalo de convergência da série:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são muito comuns em cálculo. Para descobrir o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert), que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se an+1an = (-1)^n+1 (x-3)^n+12(n+1)+1(-1)^n (x-3)^n2n+1 = - (x-3)2n+3 cdot 2n+11 , a série converge; se | an+1an | = | (x-3)(2n+1)2n+3 | , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então:
Tomamos o valor absoluto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | (x-3)(2n+1)2n+3 | :
2n+12n+3 = 2n(1 + 12n)2n(1 + 32n) = 1 + 12n1 + 32n to 1 + 01 + 0 = 1 quando n to infty
Simplificando a expressão dentro do limite:
L = |x - 3| cdot 1 = |x - 3|
Portanto,

Passo 4

Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que |x - 3| < 1 :
-1 < x - 3 < 1
Isso significa que 2 < x < 4 deve estar a menos de 1 unidade de 3. Vamos resolver essa desigualdade:
Somando 3 em todos os lados:
Então, o intervalo provisório de convergência é .

Passo 5

Agora, precisamos verificar as extremidades do intervalo, ou seja, sumn=1^+infty (-1)^n (2-3)^n2n+1 = sumn=1^+infty (-1)^n (-1)^n2n+1 = sumn=1^+infty 12n+1 e sumn=1^+infty (-1)^n (4-3)^n2n+1 = sumn=1^+infty (-1)^n 12n+1 , para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Substituindo na série:
Essa série é harmônica e diverge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada onde os termos decrescem e tendem a zero, então pelo Teste da Série Alternada, ela converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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