Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma equação diferencial de primeira ordem que é linear:
. O que a gente vai precisar para resolver isso é a técnica do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. Ela está na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é
. Então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.