Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
. A matéria aqui é sobre equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Matemáticamente, isso significa:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
derivando
em relação a
e comparando com
:
Isso nos dá:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.