Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(a) (x+y) dx + x dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: . A matéria aqui é sobre equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Matemáticamente, isso significa:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Agora, vamos encontrar derivando em relação a e comparando com :
Isso nos dá:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados