Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. O enunciado que temos é:

Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especialmente a forma padrão e o fator integrante. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma padrão é:

Vamos reorganizar nossa equação original para se parecer com isso. Começamos dividindo todos os termos por :
Agora, isolamos :

Dividindo ambos os lados por :
Assim, identificamos que:

Passo 3

Agora que temos a equação na forma padrão, precisamos achar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a integrar a equação. O fator integrante, , é dado por:

Substituindo :
Sabemos que:

Então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pela para simplificar:

Simplificando os termos:
A parte esquerda agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :

A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para isolando:

Sabendo que , simplificamos para:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Encontre o raio e o intervalo de convergência da série.
;
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(a)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(a)
Questão 1 [2,0 pontos] Considere a função .
d. Determine e e interprete esses números como inclinações.