Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(e) (y sen x - 2) dx + cos x dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. O enunciado que temos é:

Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especialmente a forma padrão e o fator integrante. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma padrão é:

Vamos reorganizar nossa equação original para se parecer com isso. Começamos dividindo todos os termos por :
Agora, isolamos :

Dividindo ambos os lados por :
Assim, identificamos que:
cos(x)

Passo 3

Agora que temos a equação na forma padrão, precisamos achar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a integrar a equação. O fator integrante, mu(x), é dado por:

Substituindo :
Sabemos que:

Então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pela mu(x) para simplificar:

Simplificando os termos:
A parte esquerda agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:

A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y isolando:

Sabendo que , simplificamos para:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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