Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. O enunciado que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especialmente a forma padrão e o fator integrante. Vou te guiar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma padrão é:
Vamos reorganizar nossa equação original para se parecer com isso. Começamos dividindo todos os termos por
Agora, isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
Assim, identificamos que:
Passo 3
Agora que temos a equação na forma padrão, precisamos achar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a integrar a equação. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
Sabemos que:
Então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pela
para simplificar:
Simplificando os termos:
A parte esquerda agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
isolando:
Sabendo que , simplificamos para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre o raio
e o intervalo
de convergência da série.
;
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(a)
(a)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(a)
(a)
Questão 1 [2,0 pontos] Considere a função
.
d. Determine e
e interprete esses números como inclinações.
d. Determine