Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz
abaixo, faça a sua diagonalização e encontre o sinal da forma quadrática
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrarmos as raízes (autovalores) e os vetores característicos (autovetores) da matriz
. Depois, vamos diagonalizar a matriz e descobrir o sinal da forma quadrática
. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, diagonalização de matrizes e formas quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Autovalores são números
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
A matriz
dada é:
A matriz identidade
de 2x2 é:
Então,
fica:
Passo 3
Agora, calculamos o determinante de
e igualamos a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Resolvendo
:
Podemos escolher
, então
. Então, um autovetor é
.
Para
:
Resolvendo
:
Simplificando, temos
. Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor é
.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos agora diagonalizar a matriz
. A diagonalização consiste em escrever
como
, onde
é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal, e
é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Então:
Passo 7
Finalmente, vamos encontrar o sinal da forma quadrática
. O sinal de uma forma quadrática depende dos autovalores de
:
- Se todos os autovalores são positivos, a forma é definida positiva.
- Se todos os autovalores são negativos, a forma é definida negativa.
- Se houver autovalores positivos e negativos, a forma é indefinida.
- Se houver autovalores nulos, a forma pode ser semidefinida.
No nosso caso, os autovalores são
e
. Como temos um autovalor positivo e um nulo, a forma quadrática é semidefinida positiva.
Resposta
As raízes (autovalores) da matriz
são
e
. Os vetores característicos (autovetores) correspondentes são
e
. A matriz
pode ser diagonalizada como
, onde:
O sinal da forma quadrática
é semidefinida positiva.