Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz A abaixo, faça a sua diagonalização e encontre o sinal da forma quadrática X^prime A X.
A=[ll 4 & 2 2 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrarmos as raízes (autovalores) e os vetores característicos (autovetores) da matriz . Depois, vamos diagonalizar a matriz e descobrir o sinal da forma quadrática . Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, diagonalização de matrizes e formas quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A = 4 & 2 2 & 1 . Autovalores são números I = 1 & 0 0 & 1 que satisfazem a equação A - lambda I = 4 - lambda & 2 2 & 1 - lambda , onde é a matriz identidade.
A matriz dada é:
A matriz identidade de 2x2 é:
Então, fica:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda) - (2)(2) = 0 e igualamos a zero:
(4 - lambda)(1 - lambda) - 4 = 0
4(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) - 4 = 0
4 - 4lambda - lambda + lambda^2 - 4 = 0
lambda^2 - 5lambda = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática lambda(lambda - 5) = 0 :
lambda1 = 0 e lambda2 = 5
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada A - 0 cdot I = A = 4 & 2 2 & 1 , resolvemos 4v1 + 2v2 = 0 2v1 + v2 = 0 , onde 1 -2 é o autovetor.
Para A - 5I = 4 - 5 & 2 2 & 1 - 5 = -1 & 2 2 & -4 :
-1v1 + 2v2 = 0 2v1 - 4v2 = 0
Resolvendo 2 1 :
Podemos escolher , então . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvendo :
Simplificando, temos . Podemos escolher , então . Assim, um autovetor é .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos agora diagonalizar a matriz P = 1 & 2 -2 & 1 , D = 0 & 0 0 & 5 . A diagonalização consiste em escrever como , onde é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal, e é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Então:

Passo 7

Finalmente, vamos encontrar o sinal da forma quadrática . O sinal de uma forma quadrática depende dos autovalores de :
  • Se todos os autovalores são positivos, a forma é definida positiva.
  • Se todos os autovalores são negativos, a forma é definida negativa.
  • Se houver autovalores positivos e negativos, a forma é indefinida.
  • Se houver autovalores nulos, a forma pode ser semidefinida.
No nosso caso, os autovalores são e . Como temos um autovalor positivo e um nulo, a forma quadrática é semidefinida positiva.

Resposta

As raízes (autovalores) da matriz 1 -2 são 2 1 e P = 1 & 2 -2 & 1 , D = 0 & 0 0 & 5 . Os vetores característicos (autovetores) correspondentes são e . A matriz pode ser diagonalizada como , onde:
O sinal da forma quadrática é semidefinida positiva.

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