Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz abaixo, faça a sua diagonalização e encontre o sinal da forma quadrática .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrarmos as raízes (autovalores) e os vetores característicos (autovetores) da matriz . Depois, vamos diagonalizar a matriz e descobrir o sinal da forma quadrática . Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, diagonalização de matrizes e formas quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
A matriz dada é:
A matriz identidade de 2x2 é:
Então, fica:
Passo 3
Agora, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática :
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo :
Podemos escolher , então . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvendo :
Simplificando, temos . Podemos escolher , então . Assim, um autovetor é .
Passo 6
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos agora diagonalizar a matriz . A diagonalização consiste em escrever como , onde é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal, e é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Então:
Passo 7
Finalmente, vamos encontrar o sinal da forma quadrática. O sinal de uma forma quadrática depende dos autovalores de :
Se todos os autovalores são positivos, a forma é definida positiva.
Se todos os autovalores são negativos, a forma é definida negativa.
Se houver autovalores positivos e negativos, a forma é indefinida.
Se houver autovalores nulos, a forma pode ser semidefinida.
No nosso caso, os autovalores são e . Como temos um autovalor positivo e um nulo, a forma quadrática é semidefinida positiva.
Resposta
As raízes (autovalores) da matriz são e . Os vetores característicos (autovetores) correspondentes são e . A matriz pode ser diagonalizada como , onde:
O sinal da forma quadrática é semidefinida positiva.