Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. , onde representa a transposta da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é analisar um operador linear que pega uma matriz e retorna sua transposta. A matéria que estamos mexendo aqui envolve autovalores, autovetores, polinômio característico e autoespaços. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como representação matricial de operadores lineares e cálculo de determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o operador age nas matrizes . Seja uma matriz genérica . A transposta dela é .
Para estudar o operador linear , precisamos representar isso como uma matriz em relação à base padrão de , que normalmente é formada pelas matrizes:
Aplicando em cada uma dessas bases:
Isso nos dá a matriz de :
Passo 3
Agora, vamos achar o polinômio característico de [T] - lambda I = 1-lambda & 0 & 0 & 0 0 & -lambda & 1 & 0 0 & 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 0 & 1-lambda . O polinômio característico é dado por det([T] - lambda I) = (1-lambda) cdot det -lambda & 1 1 & -lambda cdot (1-lambda) = (1-lambda)^2 (lambda^2 -1) , onde p(lambda) = (1-lambda)^2 (lambda -1)(lambda +1) = (1-lambda)^2 (lambda^2 -1) é a matriz identidade.