Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: M2 times 2 M2 times 2, T(A)=A^t, onde A^t representa a transposta da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é analisar um operador linear que pega uma matriz e retorna sua transposta. A matéria que estamos mexendo aqui envolve autovalores, autovetores, polinômio característico e autoespaços. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como representação matricial de operadores lineares e cálculo de determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o operador a & b c & d age nas matrizes a & c b & d . Seja uma matriz genérica E1 = 1 & 0 0 & 0 , E2 = 0 & 1 0 & 0 , E3 = 0 & 0 1 & 0 , E4 = 0 & 0 0 & 1 . A transposta dela é T(E1) = E1, T(E2) = E3, T(E3) = E2, T(E4) = E4 .
Para estudar o operador linear [T] = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , precisamos representar isso como uma matriz em relação à base padrão de , que normalmente é formada pelas matrizes:
Aplicando em cada uma dessas bases:
Isso nos dá a matriz de :

Passo 3

Agora, vamos achar o polinômio característico de [T] - lambda I = 1-lambda & 0 & 0 & 0 0 & -lambda & 1 & 0 0 & 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 0 & 1-lambda . O polinômio característico é dado por det([T] - lambda I) = (1-lambda) cdot det -lambda & 1 1 & -lambda cdot (1-lambda) = (1-lambda)^2 (lambda^2 -1) , onde p(lambda) = (1-lambda)^2 (lambda -1)(lambda +1) = (1-lambda)^2 (lambda^2 -1) é a matriz identidade.
Subtraindo de :
Calculando o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores resolvendo (1-lambda)^2 (lambda^2 -1) = 0 Rightarrow (1-lambda)^2 (lambda -1)(lambda +1) = 0 :
lambda = 1 (mu
As soluções são:

Passo 5

Agora, vamos achar os autovetores para cada autovalor.
  1. Para 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 v4 = 0 0 0 0 :
    Resolvemos -v2 + v3 = 0 Rightarrow v2 = v3 :
    [
    v = v1 1 0 0 0 + v4 0 0 0 1 + v2 0 1 1 0
    2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 v1 v2 v3 v4 = 0 0 0 0

    2v1 = 0 Rightarrow v1 = 0 v2 + v3 = 0 Rightarrow v3 = -v2 2v4 = 0 Rightarrow v4 = 0
    ]
    Isso nos dá as equações:
    v = v2 0 1 -1 0
    As variáveis livres são e . Então, os autovetores são:
  2. Para :
    Resolvemos :
    [


    ]
    Isso nos dá as equações:
    Então, os autovetores são:

Passo 6

Vamos definir as bases e dimensões de cada autoespaço (espaço próprio):
  1. Para 1 0 0 0, 0 1 1 0, 0 0 0 1 :
    • Base: 0 1 -1 0
    • Dimensão: 3
  2. Para :
    • Base:
    • Dimensão: 1

Resposta

O polinômio característico do operador 1 0 0 0, 0 1 1 0, 0 0 0 1 é 0 1 -1 0 . Os autovalores são com multiplicidade 3 e com multiplicidade 1.
Para , os autovetores formam uma base composta por:
e o autoespaço correspondente tem dimensão 3.
Para , o autovetor é:
com o autoespaço de dimensão 1.

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