Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um operador linear definido por . A tarefa é encontrar o polinômio característico desse operador, descobrir os autovalores e autovetores, e também determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Isso é útil porque trabalhar com matrizes facilita encontrar autovalores e autovetores. Olhando a definição de :
Podemos escrever a matriz associada a da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 1 0 & 2 - lambda & 1 0 & 0 & 3 - lambda . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) , onde p(lambda) = (1 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) é a matriz identidade e é um escalar (nosso autovalor).
Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Portanto, o polinômio característico é:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos (1 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) = 0 :
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = 3
Isso nos dá os autovalores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - I = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 , resolvemos o sistema 0v1 + v2 + v3 = 0 0v1 + v2 + v3 = 0 0v1 + 0v2 + 2v3 = 0 , onde v1 = 1 0 0 é o autovetor.
Da terceira equação, temos A - 3I = -2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 . Substituindo em cima, -2v1 + v2 + v3 = 0 0v1 - v2 + v3 = 0 0 = 0 . O -2v1 + v3 + v3 = -2v1 + 2v3 = 0 Rightarrow v1 = v3 é livre, então podemos escolher v3 = 1 1 1 . Portanto, um autovetor associado a é:
Para :
O sistema de equações é:
Da segunda e terceira equações, temos . Substituindo na primeira, ou . O é livre, então podemos escolher . Assim, um autovetor associado a é:
Para :
O sistema de equações é:
Da segunda equação, ou . Substituindo na primeira:
Escolhendo , temos e . Portanto, um autovetor associado a é:
Passo 6
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos agora determinar as bases e as dimensões de cada autoespaço.
Autoespaço para 1 0 0 :
Base: 1 1 0
Dimensão: 1
Autoespaço para 1 1 1 :
Base:
Dimensão: 1
Autoespaço para :
Base:
Dimensão: 1
Resposta
O polinômio característico do operador 1 0 0 é 1 1 0 . Os autovalores são 1 1 1 , e . Os autovetores correspondentes são , e . Cada autoespaço tem uma base formada por um desses autovetores e dimensão igual a 1.