Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(g) lim x 0 cos (2 x^2)-e^x^4x sin (x^3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular o limite quando cos(2x^2) - e^x^4x sin(x^3) se aproxima de 0 da expressão:
Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento em séries de Maclaurin. Isso nos ajuda a aproximar funções próximas a 0, usando polinômios.

Passo 2

Vamos lembrar que a série de Maclaurin para cos(y) = 1 - y^22! + y^44! - dots é:
e^y = 1 + y + y^22! + y^33! + dots
E para sin(y) = y - y^33! + y^55! - dots :
E para :
Vamos usar esses desenvolvimentos para expandir cada termo na expressão do limite.

Passo 3

Primeiro, vamos expandir cos(2x^2) = 1 - (2x^2)^22! + (2x^2)^44! - dots = 1 - 2x^4 + 16x^824 - dots :
cos(2x^2) approx 1 - 2x^4
Aproximando até a ordem :

Passo 4

Agora, expandimos e^x^4 = 1 + x^4 + x^82! + dots :
e^x^4 approx 1 + x^4
Aproximando até a ordem :

Passo 5

Vamos calcular cos(2x^2) - e^x^4 approx (1 - 2x^4) - (1 + x^4) = -3x^4 :

Passo 6

Agora, expandimos sin(x^3) = x^3 - (x^3)^33! + dots = x^3 - x^96 + dots :
sin(x^3) approx x^3
Aproximando até a ordem :

Passo 7

Substituímos as aproximações na expressão original:
cos(2x^2) - e^x^4x sin(x^3) approx -3x^4x cdot x^3 = -3x^4x^4 = -3

Resposta

O limite é .

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Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
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Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(h) f(x) = x^3 e^(x^2)
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(a) sumn=0^infty e^n k=9
Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(g) f(x) = x * ln(x^2 + 1)