Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(g)
(g)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento em séries de Maclaurin. Isso nos ajuda a aproximar funções próximas a 0, usando polinômios.
Passo 2
Vamos lembrar que a série de Maclaurin para
é:
E para
:
E para
:
Vamos usar esses desenvolvimentos para expandir cada termo na expressão do limite.
Passo 3
Primeiro, vamos expandir
:
Aproximando até a ordem
:
Passo 4
Agora, expandimos
:
Aproximando até a ordem
:
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, expandimos
:
Aproximando até a ordem
:
Passo 7
Substituímos as aproximações na expressão original:
Resposta
O limite é
.
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(d)
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(h)
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que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(a)
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(g)
(g)