Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de k que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(a) sumn=0^infty e^n k=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores reais de que fazem a soma da série ser igual a 9. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que é uma série geométrica com razão . As séries geométricas têm a forma .

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica converge, ou seja, tem soma finita, somente se o valor absoluto da razão for menor que 1: . No nosso caso, como é sempre positivo, a condição fica .

Passo 4

Quando a série converge, a soma dela é dada pela fórmula:
sumn=0^infty r^n = 11 - r
Aplicando isso na nossa série:
sumn=0^infty e^n k = 11 - e^k
E queremos que essa soma seja igual a 9:
11 - e^k = 9

Passo 5

Agora, vamos resolver para 1 - e^k = 19 :
e^k = 1 - 19
e^k = 89

Passo 6

Para encontrar k = ln(89) , tiramos o logaritmo natural dos dois lados:

Resposta

Exercícios relacionados

Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(g) lim x 0 cos (2 x^2)-e^x^4x sin (x^3)
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(d) lim x 0 ln (1+x^2)-3 sin (2 x^2)x^2
Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(g) f(x) = x * ln(x^2 + 1)
Utilize a representação em série de potências, centrada em zero, de f(x)=arctan x para provar a seguinte expressão para pi como soma de uma série numérica: pi= 2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2 n+1).