Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de
que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores reais de
que fazem a soma da série
ser igual a 9. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que
é uma série geométrica com razão
. As séries geométricas têm a forma
.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica converge, ou seja, tem soma finita, somente se o valor absoluto da razão for menor que 1:
. No nosso caso, como
é sempre positivo, a condição fica
.
Passo 4
Quando a série converge, a soma dela é dada pela fórmula:
Aplicando isso na nossa série:
E queremos que essa soma seja igual a 9:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos o logaritmo natural dos dois lados: