Resolva cada uma dos PVIs seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial com a condição inicial . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar separar as variáveis e integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por para isolar os termos de de um lado e os de do outro:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e do lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
onde é a constante de integração. Esse passo utiliza a regra básica da integração de potências.

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos reescrever como uma nova constante, digamos :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Passo 7

Com o valor de encontrado, a solução geral da equação é:
Se preferirmos expressar de forma explícita:

Resposta

A solução do problema é .

Exercícios relacionados

Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Encontre uma representação em série de potências de e encontre seu intervalo de convergência e seu raio de convergência.
Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(b)
Verifique que a função é uma solução e , com constante não nula, não é solução para o PVI constituído pela equação diferencial ordinária e pela condição inicial .