Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar separar as variáveis e integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para isolar os termos de
de um lado e os de
do outro:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
onde
é a constante de integração. Esse passo utiliza a regra básica da integração de potências.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos reescrever
como uma nova constante, digamos
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, a solução geral da equação é:
Se preferirmos expressar
de forma explícita:
Resposta
A solução do problema é
.
Exercícios relacionados
Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Encontre uma representação em série de potências de
e encontre seu intervalo de convergência e seu raio de convergência.
Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(b)
(b)
Verifique que a função
é uma solução e
, com
constante não nula, não é solução para o PVI constituído pela equação diferencial ordinária
e pela condição inicial
.