Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de e descobrir para quais valores de essa soma realmente faz sentido (ou seja, converge).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a expansão em série. Observamos que:
Podemos fatorar o 4 de dentro do logaritmo:
Usando as propriedades dos logaritmos, separamos:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte . Sabemos que a série de Taylor para é:
Essa série é válida para . No nosso caso, , então precisamos que:
Passo 4
Vamos agora substituir na série:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Não esqueçamos da parte constante que tínhamos separado anteriormente, . Então, a série completa para fica:
Podemos também expressar isso de forma mais geral usando somas: