Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de e descobrir para quais valores de essa soma realmente faz sentido (ou seja, converge).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a expansão em série. Observamos que:
Podemos fatorar o 4 de dentro do logaritmo:
Usando as propriedades dos logaritmos, separamos:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . Sabemos que a série de Taylor para é:
Essa série é válida para . No nosso caso, , então precisamos que:

Passo 4

Vamos agora substituir na série:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Não esqueçamos da parte constante que tínhamos separado anteriormente, . Então, a série completa para fica:
Podemos também expressar isso de forma mais geral usando somas:

Resposta

A representação em série de potências para é
com o intervalo de convergência .

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