Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função vetorial e um campo vetorial . Precisamos analisar a expressão para ver se ela faz sentido. Se fizer, dizer se o resultado é um campo vetorial ou um escalar. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o . O gradiente de uma função escalar , denotado por ou , nos dá um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e cuja magnitude é a taxa de variação nessa direção. Então, é um campo vetorial.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que faz o operador divergente, . A divergente de um campo vetorial mede a “taxa de expansão” ou “contração” do campo em cada ponto. Ela transforma um campo vetorial em uma função escalar. Em termos matemáticos, se temos um campo vetorial , então .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a divergente no gradiente de : . Primeiro, calculamos o gradiente de , que é um campo vetorial. Depois, aplicamos a divergente nesse campo vetorial. Como vimos no passo anterior, a divergente de um campo vetorial resulta em um escalar. Portanto, a expressão faz sentido e resulta em um escalar.

Resposta

A expressão é válida e resulta em um escalar.

Exercícios relacionados

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. .
Existe um campo em tal que ? Justifique.
Encontre as séries de Maclaurin das funções abaixo usando a definição. .
Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.