Seja r uma função vetorial e F um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Div(Grad(f))

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função vetorial r e um campo vetorial F. Precisamos analisar a expressão Div(Grad(f)) para ver se ela faz sentido. Se fizer, dizer se o resultado é um campo vetorial ou um escalar. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Grad(f). O gradiente de uma função escalar f, denotado por Grad(f) ou nabla f, nos dá um vetor que aponta na direção de maior crescimento de f e cuja magnitude é a taxa de variação nessa direção. Então, Grad(f) é um campo vetorial.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que faz o operador divergente, . A divergente de um campo vetorial mede a “taxa de expansão” ou “contração” do campo em cada ponto. Ela transforma um campo vetorial em uma função escalar. Em termos matemáticos, se temos um campo vetorial , então .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a divergente no gradiente de f: Div(Grad(f)). Primeiro, calculamos o gradiente de f, que é um campo vetorial. Depois, aplicamos a divergente nesse campo vetorial. Como vimos no passo anterior, a divergente de um campo vetorial resulta em um escalar. Portanto, a expressão Div(Grad(f)) faz sentido e resulta em um escalar.

Resposta

A expressão Div(Grad(f)) é válida e resulta em um escalar.

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