Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função vetorial
e um campo vetorial
. Precisamos analisar a expressão
para ver se ela faz sentido. Se fizer, dizer se o resultado é um campo vetorial ou um escalar. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o
. O gradiente de uma função escalar
, denotado por
ou
, nos dá um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e cuja magnitude é a taxa de variação nessa direção. Então,
é um campo vetorial.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que faz o operador divergente,
. A divergente de um campo vetorial mede a “taxa de expansão” ou “contração” do campo em cada ponto. Ela transforma um campo vetorial em uma função escalar. Em termos matemáticos, se temos um campo vetorial
, então
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a divergente no gradiente de
:
. Primeiro, calculamos o gradiente de
, que é um campo vetorial. Depois, aplicamos a divergente nesse campo vetorial. Como vimos no passo anterior, a divergente de um campo vetorial resulta em um escalar. Portanto, a expressão
faz sentido e resulta em um escalar.
Resposta
A expressão
é válida e resulta em um escalar.
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.
Existe um campo
em
tal que
? Justifique.
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.
Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.