Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x) = (x + 2) / (2x^2 - x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e séries geométricas. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função fatorando o denominador. A gente tem:
Vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão (produto de e ) e somados dão . Esses números são e . Assim, podemos reescrever:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos quebrar a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos resolver para e . Expandindo a equação:
Agrupando os termos com :
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo este sistema:
Da segunda equação: =>
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 5

Agora que temos e , a fração parcial fica:
Vamos reescrever cada termo para facilitar a série de potências. Observe que:
E:
Portanto, a função fica:

Passo 6

Sabemos que a série geométrica é dada por:
Vamos aplicar isso a cada termo da nossa função :
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo as séries na expressão de , temos:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Cada série tem seu próprio intervalo:
  1. Para , convergente quando .
  2. Para , convergente quando .
O intervalo de convergência da série resultante será a interseção dos intervalos individuais, ou seja, .

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções vetoriais
r(t) = sen(2t) i + cos(t^2) j
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x) = x^2 / (a^2 - x^2)
Calcule as derivadas das funções vetoriais
s(t) = (t^4 - 1) i + cosh(t) k
Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de f(x).
f(x) = x^3, a = -1