Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma representação em série de potências para a função
e descobrir o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e séries geométricas. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
fatorando o denominador. A gente tem:
Vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão
(produto de
e
) e somados dão
. Esses números são
e
. Assim, podemos reescrever:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos quebrar a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos resolver para
e
. Expandindo a equação:
Agrupando os termos com
:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo este sistema:
Da segunda equação:
=>
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
e
, a fração parcial fica:
Vamos reescrever cada termo para facilitar a série de potências. Observe que:
E:
Portanto, a função fica:
Passo 6
Sabemos que a série geométrica é dada por:
Vamos aplicar isso a cada termo da nossa função
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo as séries na expressão de
, temos:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Cada série tem seu próprio intervalo:
- Para
, convergente quando . - Para
, convergente quando .
O intervalo de convergência da série resultante será a interseção dos intervalos individuais, ou seja,
.
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.
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