Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos (c, f(c)), (d, f(d)) e (e,f(e)). Suponha que c < d < e.
b) f'(c)=0 ; f'(d)=-1 ; f''(d)=0 ; f'(e) não existe; f''(x) < 0 se x < d; f''(x) > 0 se d < x < e ; f''(x) < 0 se x > e

Passo 1

Beleza, temos uma função f que passa pelos pontos (c, f(c)), e (e, f(e)), onde . Queremos fazer um esboço do gráfico dessa função, considerando as informações sobre as derivadas primeira e segunda nesses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para entender como a função se comporta nesses intervalos e pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, olha que . Isso significa que no ponto c, a inclinação da tangente à curva é zero, ou seja, a função tem um ponto de máximo ou mínimo local aí.

Passo 3

No ponto d, temos e . A derivada primeira negativa indica que a função está decrescendo nesse ponto. A segunda derivada igual a zero sugere que esse ponto pode ser um ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda.

Passo 4

Em e, a derivada primeira não existe. Isso quer dizer que há um ponto de canto ou cusp nesse ponto, onde a tangente não está bem definida.

Passo 5

Agora, analisando as concavidades:
  • Para , , então a função é côncava para baixo.
  • Para , , a função é côncava para cima.
  • Para , , voltando a ser côncava para baixo.

Resposta

Com todas essas informações, o esboço do gráfico de f terá:
  • Um ponto de máximo ou mínimo em c com a tangente horizontal.
  • A função decresce passando por d, onde muda a concavidade de para baixo para para cima, indicando um ponto de inflexão.
  • Em e, há um ponto de canto ou cusp, e a concavidade retorna para baixo após esse ponto.
  • As concavidades nas diferentes regiões confirmam essas características, resultando em um gráfico que reflete todas essas condições dadas.

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