Faça um esboço do gráfico de uma função
que passa pelos pontos
(e,f(e)). Suponha que
.
b)
não existe;
se
;
se
se
b)
Passo 1
Beleza, temos uma função
que passa pelos pontos
,
e
, onde
. Queremos fazer um esboço do gráfico dessa função, considerando as informações sobre as derivadas primeira e segunda nesses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para entender como a função se comporta nesses intervalos e pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, olha que
. Isso significa que no ponto
, a inclinação da tangente à curva é zero, ou seja, a função tem um ponto de máximo ou mínimo local aí.
Passo 3
No ponto
, temos
e
. A derivada primeira negativa indica que a função está decrescendo nesse ponto. A segunda derivada igual a zero sugere que esse ponto pode ser um ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda.
Passo 4
Em
, a derivada primeira
não existe. Isso quer dizer que há um ponto de canto ou cusp nesse ponto, onde a tangente não está bem definida.
Passo 5
Agora, analisando as concavidades:
- Para
, , então a função é côncava para baixo. - Para
, , a função é côncava para cima. - Para
, , voltando a ser côncava para baixo.
Resposta
Com todas essas informações, o esboço do gráfico de
terá:
- Um ponto de máximo ou mínimo em
com a tangente horizontal. - A função decresce passando por
, onde muda a concavidade de para baixo para para cima, indicando um ponto de inflexão. - Em
, há um ponto de canto ou cusp, e a concavidade retorna para baixo após esse ponto. - As concavidades nas diferentes regiões confirmam essas características, resultando em um gráfico que reflete todas essas condições dadas.