Se for um número inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série . Aqui, é um número inteiro positivo. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele é um valor tal que a série converge para e diverge para . Para encontrar , vamos aplicar o teste da razão, que envolve calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série:
Agora, queremos encontrar :
Passo 4
Simplificando a expressão:
Observamos que , então podemos reescrever como:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, vamos usar a aproximação de Stirling para fatoriais, que é útil para grandes valores de :
Aplicando essa aproximação aos fatoriais envolvidos e simplificando, descobrimos que o limite se relaciona com e , levando a: