Se for um número inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série . Aqui, é um número inteiro positivo. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele é um valor tal que a série converge para e diverge para . Para encontrar , vamos aplicar o teste da razão, que envolve calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série:
Agora, queremos encontrar :

Passo 4

Simplificando a expressão:
Observamos que , então podemos reescrever como:

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos usar a aproximação de Stirling para fatoriais, que é útil para grandes valores de :
Aplicando essa aproximação aos fatoriais envolvidos e simplificando, descobrimos que o limite se relaciona com e , levando a:

Resposta

Portanto, o raio de convergência da série é:

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Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
(a) A série geométrica
( ) converge para
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. .