Se for um número inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série . Aqui, é um número inteiro positivo. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele é um valor tal que a série converge para e diverge para . Para encontrar , vamos aplicar o teste da razão, que envolve calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge.
Passo 3
Vamos identificar an = (n!)^k(k n)! na nossa série:
an+1an = ((n+1)!)^k(k(n+1))! cdot (k n)!(n!)^k
Agora, queremos encontrar :
Passo 4
Simplificando a expressão:
an+1an = (n+1)^k cdot (n!)^k(k n + k)! cdot (k n)!(n!)^k = (n+1)^k(k n + k)! / (k n)!
Observamos que an+1an = (n+1)^k(k(n+1)) cdot (k(n+1)-1) cdot ldots cdot (k n +1) , então podemos reescrever como:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, vamos usar a aproximação de Stirling para fatoriais, que é útil para grandes valores de n! approx n^n e^-n raiz2pi n :
L = limn to infty (n+1)^k(k n)^k = (1k)^k
Aplicando essa aproximação aos fatoriais envolvidos e simplificando, descobrimos que o limite se relaciona com e , levando a: