Sejam f e g duas funções contínuas em a pertence a Dom(f) interseccao Dom(g) e k pertence aos reais constante. Prove que:
(a) k * f é contínua em a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas funções contínuas, e , em um ponto . A gente precisa provar que se a gente multiplica a função por uma constante , ou seja, , essa nova função também será contínua em . O conteúdo aqui é de continuidade de funções, e vamos precisar usar a definição de continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, a função é contínua em se, quando nos aproximamos de , os valores de se aproximam de . Em termos matemáticos, isso é expresso como:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que também é contínua em . Para isso, vamos aplicar a definição de continuidade na função . Ou seja, precisamos verificar se:

Passo 4

Sabemos que é contínua em , então:
Multiplicando ambos os lados da igualdade por , que é uma constante, a propriedade das limites nos diz que:
Ou seja:

Passo 5

Como vimos, usando a definição de continuidade e a propriedade de limites, mostramos que:
Isso confirma que é contínua em .

Resposta

Portanto, é contínua em .

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