Sejam
e
duas funções contínuas em
e
constante. Prove que:
(a)
é contínua em
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas funções contínuas,
e
, em um ponto
. A gente precisa provar que se a gente multiplica a função
por uma constante
, ou seja,
, essa nova função também será contínua em
. O conteúdo aqui é de continuidade de funções, e vamos precisar usar a definição de continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, a função
é contínua em
se, quando nos aproximamos de
, os valores de
se aproximam de
. Em termos matemáticos, isso é expresso como:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
também é contínua em
. Para isso, vamos aplicar a definição de continuidade na função
. Ou seja, precisamos verificar se:
Passo 4
Sabemos que
é contínua em
, então:
Multiplicando ambos os lados da igualdade por
, que é uma constante, a propriedade das limites nos diz que:
Ou seja:
Passo 5
Como vimos, usando a definição de continuidade e a propriedade de limites, mostramos que:
Isso confirma que
é contínua em
.
Resposta
Portanto,
é contínua em
.