Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e propriedades das funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar da série de potências para a função arco-tangente e como manipular séries para encontrar a representação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de potências da função . A série de Taylor para centrada em 0 é dada por:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a série para . Para isso, vamos substituir por na série da :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter a série de :

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série original da converge para . Quando substituímos por , a condição de convergência passa a ser , ou seja, . Multiplicar a série por não altera o raio de convergência.
Para confirmar, podemos aplicar o teste da razão:
Para convergência, precisamos que , ou seja, . Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
b-)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(d)
Prove que é uma solução da equação diferencial dada:
(a)
É verdadeiro ou falso?
Se para todo e , então o raio de convergência da série é igual a .