Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e propriedades das funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar da série de potências para a função arco-tangente e como manipular séries para encontrar a representação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de potências da função . A série de Taylor para centrada em 0 é dada por:
Essa série é válida para .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a série para . Para isso, vamos substituir por na série da :
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa série por para obter a série de :
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série original da converge para . Quando substituímos por , a condição de convergência passa a ser , ou seja, . Multiplicar a série por não altera o raio de convergência.
Para confirmar, podemos aplicar o teste da razão:
Para convergência, precisamos que , ou seja, . Portanto, o raio de convergência é 1.
Resposta
A representação em série de potências para a função é: