É verdadeiro ou falso?
Se para todo e , então o raio de convergência da série é igual a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se uma certa afirmação sobre séries infinitas é verdadeira ou falsa. A gente vai trabalhar com o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para descobrir se uma série converge (isto é, tem um valor definido) ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o raio de convergência de uma série e aplicar o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde os termos da série somam de forma que a série converge. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão. Esse teste diz que:
onde é o raio de convergência.
Passo 3
No enunciado, temos que . Vamos relacionar isso com a fórmula do raio de convergência. Se rearranjarmos a expressão do raio, temos:
Isso mostra que o raio de convergência realmente é igual a , desde que exista e seja diferente de zero, o que é o caso segundo o enunciado.
Resposta
Verdadeiro. O raio de convergência da série é igual a .