É verdadeiro ou falso?
Se cn neq 0 para todo n in N e lim n +infty cn+1cn=L neq 0, então o raio de convergência da série sumn=0^+infty cn x^n é igual a 1L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se uma certa afirmação sobre séries infinitas é verdadeira ou falsa. A gente vai trabalhar com o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para descobrir se uma série converge (isto é, tem um valor definido) ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o raio de convergência de uma série e aplicar o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde os termos da série R = limn to infty | cncn+1 | somam de forma que a série converge. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão. Esse teste diz que:
onde é o raio de convergência.

Passo 3

No enunciado, temos que R = 1limn to infty cn+1cn = 1L . Vamos relacionar isso com a fórmula do raio de convergência. Se rearranjarmos a expressão do raio, temos:
Isso mostra que o raio de convergência realmente é igual a , desde que exista e seja diferente de zero, o que é o caso segundo o enunciado.

Resposta

Verdadeiro. O raio de convergência da série é igual a .

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