É verdadeiro ou falso?
Se para todo e , então o raio de convergência da série é igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se uma certa afirmação sobre séries infinitas é verdadeira ou falsa. A gente vai trabalhar com o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para descobrir se uma série converge (isto é, tem um valor definido) ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o raio de convergência de uma série e aplicar o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde os termos da série somam de forma que a série converge. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão. Esse teste diz que:
onde é o raio de convergência.

Passo 3

No enunciado, temos que . Vamos relacionar isso com a fórmula do raio de convergência. Se rearranjarmos a expressão do raio, temos:
Isso mostra que o raio de convergência realmente é igual a , desde que exista e seja diferente de zero, o que é o caso segundo o enunciado.

Resposta

Verdadeiro. O raio de convergência da série é igual a .

Exercícios relacionados

Prove que é uma solução da equação diferencial dada:
(a)
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
;
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
a-)
Questão 3 [2,5 pontos] A temperatura em um ponto é , medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após segundos é dada por , onde e são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz e . Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de oito segundos?