Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
b-)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. representa a derivada de em relação a , ou seja, a taxa de variação de conforme muda. A equação nos diz que essa taxa de variação é igual a .

Passo 3

Para encontrar , precisamos “desfazer” a derivada. Isso significa que vamos integrar ambos os lados da equação em relação a . A integração é o processo inverso da derivada.

Passo 4

Integrando ambos os lados:
Como a integral de em relação a é simplesmente , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de :
Onde é a constante de integração que aparece porque a integral indefinida possui infinitas soluções que diferem por uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(d)
Questão 1 [2,0 pontos] Considere a função .
d. Determine e e interprete esses números como inclinações.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
;
Prove que é uma solução da equação diferencial dada:
(a)