Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo.
representa a derivada de
em relação a
, ou seja, a taxa de variação de
conforme
muda. A equação
nos diz que essa taxa de variação é igual a
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos “desfazer” a derivada. Isso significa que vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
. A integração é o processo inverso da derivada.
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Como a integral de
em relação a
é simplesmente
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
:
Onde
é a constante de integração que aparece porque a integral indefinida possui infinitas soluções que diferem por uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(d)
(d)
Questão 1 [2,0 pontos] Considere a função
.
d. Determine e
e interprete esses números como inclinações.
d. Determine
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
;
Prove que
é uma solução da equação diferencial dada:
(a)
(a)