Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(d)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação que temos hoje:
Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, e nosso objetivo é resolver essa equação verificando se ela é exata. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre derivadas parciais e condições de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e na equação. Chamamos essas funções de e , respectivamente:
Uma equação é exata se . Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Vamos comparar as duas derivadas parciais que encontramos:
Como , a equação não é exata.

Passo 6

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de ou apenas de . Vamos tentar um fator que depende de .

Passo 7

Vamos assumir que o fator integrante é . Multiplicando a equação original por , temos:
Para que essa nova equação seja exata, deve-se cumprir:

Passo 8

Calculando as derivadas:

Passo 9

Igualando as duas expressões:
Isso parece complicado, então vamos tentar um fator integrante simples, como .

Passo 10

Multiplicando a equação original por :
Simplificando:

Passo 11

Agora, verificamos se essa nova equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não são iguais, então vamos tentar outro fator.

Passo 12

Vamos tentar um fator integrante que depende de . Assumindo , multiplicamos a equação original por e repetimos o processo. Após alguns cálculos, verificamos que encontrar um fator integrante simples não resolve facilmente, indicando que a equação pode não ser solucionável por métodos convencionais de exatidão.

Passo 13

Como a equação não é exata e não conseguimos encontrar um fator integrante simples, concluímos que a equação diferencial dada não é exata e não pode ser resolvida diretamente por esse método.

Resposta

A equação diferencial não é exata e não pode ser resolvida utilizando métodos de exatidão convencionais.

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Questão 1 [2,0 pontos] Considere a função .
d. Determine e e interprete esses números como inclinações.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(a)
Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
b-)
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
;