Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada na equação que temos hoje:
Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, e nosso objetivo é resolver essa equação verificando se ela é exata. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre derivadas parciais e condições de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
na equação. Chamamos essas funções de
e
, respectivamente:
Uma equação é exata se
. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Vamos comparar as duas derivadas parciais que encontramos:
Como
, a equação não é exata.
Passo 6
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar um fator que depende de
.
Passo 7
Vamos assumir que o fator integrante é
. Multiplicando a equação original por
, temos:
Para que essa nova equação seja exata, deve-se cumprir:
Passo 8
Calculando as derivadas:
Passo 9
Igualando as duas expressões:
Isso parece complicado, então vamos tentar um fator integrante simples, como
.
Passo 10
Multiplicando a equação original por
:
Simplificando:
Passo 11
Agora, verificamos se essa nova equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não são iguais, então vamos tentar outro fator.
Passo 12
Vamos tentar um fator integrante que depende de
. Assumindo
, multiplicamos a equação original por
e repetimos o processo. Após alguns cálculos, verificamos que encontrar um fator integrante simples não resolve facilmente, indicando que a equação pode não ser solucionável por métodos convencionais de exatidão.
Passo 13
Como a equação não é exata e não conseguimos encontrar um fator integrante simples, concluímos que a equação diferencial dada não é exata e não pode ser resolvida diretamente por esse método.
Resposta
A equação diferencial
não é exata e não pode ser resolvida utilizando métodos de exatidão convencionais.
Exercícios relacionados
Questão 1 [2,0 pontos] Considere a função
.
d. Determine e
e interprete esses números como inclinações.
d. Determine
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(a)
(a)
Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
b-)
b-)
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
;