Prove que
é uma solução da equação diferencial dada:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função
é uma solução da equação diferencial
. Isso envolve entender o que é uma equação diferencial e como verificar se uma função satisfaz essa equação. Para resolver, vamos calcular as derivadas da função
e substituir na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. A derivada de
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, ou seja, a derivada de
:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos distribuir os termos e simplificar a expressão:
Agora, agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Resposta
Conseguimos mostrar que
ao substituir
. Portanto,
é de fato uma solução da equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
;
Encontre a solução geral da equação diferencial e ilustre-a graficamente:
b-)
b-)
É verdadeiro ou falso?
Se para todo
e
, então o raio de convergência da série
é igual a
.
Se
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
a-)
a-)