Prove que y é uma solução da equação diferencial dada:
(a) y'' - 3y' + 2y = 0 ; y = c1 e^x + c2 e^(2x) ; c1, c2 em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função é uma solução da equação diferencial . Isso envolve entender o que é uma equação diferencial e como verificar se uma função satisfaz essa equação. Para resolver, vamos calcular as derivadas da função e substituir na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . A derivada de é , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, a derivada de :

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos distribuir os termos e simplificar a expressão:
Agora, agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:

Resposta

Conseguimos mostrar que ao substituir . Portanto, é de fato uma solução da equação diferencial dada.

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