Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série numérica
converge ou diverge. A gente vai usar testes de convergência de séries, que são ferramentas da matemática para determinar se uma soma infinita chega a um valor específico ou não. Para resolver, vamos precisar entender sobre o Teste da Razão, que é bem útil quando temos termos com fatoriais, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a analisar o comportamento dos termos da série quando
cresce. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo de índice
e o termo de índice
.
Passo 3
Vamos calcular essa razão:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Quando
tende ao infinito, cada uma dessas frações tende a zero:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, se esse limite
for menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso,
, então a série
é convergente.
Resposta
A série
é convergente.
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Encontre uma representação em série de potências em torno de
para a função definida por