Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série numérica converge ou diverge. A gente vai usar testes de convergência de séries, que são ferramentas da matemática para determinar se uma soma infinita chega a um valor específico ou não. Para resolver, vamos precisar entender sobre o Teste da Razão, que é bem útil quando temos termos com fatoriais, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a analisar o comportamento dos termos da série quando cresce. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo de índice e o termo de índice .

Passo 3

Vamos calcular essa razão:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Quando tende ao infinito, cada uma dessas frações tende a zero:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, , então a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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