Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = 2 / (1 + x)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma representação de série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer séries geométricas e como manipular derivadas de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. Sabemos que:
Nossa função possui um denominador parecido com , então vamos adaptar essa fórmula. Podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma série para . Sabemos que:
Mas para facilitar, podemos ajustar os índices da soma:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos a série encontrada por 2 para obter a representação de :
Podemos simplificar o sinal:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série geométrica original converge para . Como derivamos a série e multiplicamos por polinômios de , o critério de convergência permanece o mesmo. Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A representação por série de potências de é:
O raio de convergência dessa série é .

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