Encontre uma reta horizontal y = k que divida a área englobada pelas curvas y = x^2 e y = 9 em duas partes iguais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas: e . Queremos encontrar uma reta horizontal na forma que divida a área entre essas duas curvas em duas partes iguais. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de áreas entre curvas e a resolução de integrais.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões:
Resolvendo para :
Então, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a área total entre as curvas de a . A área é dada pela integral da diferença entre as funções de cima e de baixo:
Vamos calcular essa integral:
Então, a área total é 36 unidades quadradas.

Passo 4

Queremos que a reta divida essa área em duas partes iguais, ou seja, cada parte deve ter uma área de 18 unidades quadradas. Vamos considerar a área entre e . A área é:
Onde é o valor de onde intercepta . Temos:
Então,
Queremos que , então:

Passo 5

Para encontrar , resolvemos a equação:
Calculando:

Resposta

A reta horizontal que divide a área entre as curvas e em duas partes iguais é aproximadamente .

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