Encontre todos os pontos do elipsóide
cujos planos tangentes ao elipsóide é paralelo ao plano
.
Passo 1
Então, temos uma questão sobre elipsóides e planos tangentes. O problema pede para encontrar todos os pontos no elipsóide
onde os planos tangentes são paralelos ao plano
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores normais e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se dois planos são paralelos, seus vetores normais são proporcionais. O vetor normal do plano dado
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao elipsóide em qualquer ponto
sobre ele. Para isso, calculamos o gradiente da função que define o elipsóide. A função é:
O gradiente de
é:
Esse vetor
é o vetor normal ao plano tangente no ponto
do elipsóide.
Passo 4
Para que os planos tangentes sejam paralelos ao plano dado, os vetores normais devem ser proporcionais. Então, temos a equação:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver a equação (1) para
:
Substituindo
nas equações (2) e (3):
De (2):
De (3):
Passo 6
Agora, sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na equação do elipsóide para encontrar os valores de
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos somar os termos semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Passo 8
Agora que temos os valores de
, podemos encontrar
e
correspondentes:
Para
:
Para
:
Passo 9
Portanto, os pontos no elipsóide que satisfazem a condição são:
e
Resposta
Os pontos são
e
.
Exercícios relacionados
Encontre uma reta horizontal
que divida a área englobada pelas curvas
e
duas partes iguais.
Se
, determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de
no ponto
).
Mostre que a equação do plano tangente à superfície
no ponto
coincide com o plano tangente ao gráfico de
no mesmo ponto. Dê uma interpretação gráfica para o fato.
Dê uma estimativa para o valor de
, tal que a região englobada por
e
tenha uma área de 1 unidade.