Encontre todos os pontos do elipsóide 2 x^2 + 3 y^2 + 4 z^2 = 9 cujos planos tangentes ao elipsóide é paralelo ao plano x - 2y + 3z = 5.

Passo 1

Então, temos uma questão sobre elipsóides e planos tangentes. O problema pede para encontrar todos os pontos no elipsóide onde os planos tangentes são paralelos ao plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores normais e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se dois planos são paralelos, seus vetores normais são proporcionais. O vetor normal do plano dado é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao elipsóide em qualquer ponto sobre ele. Para isso, calculamos o gradiente da função que define o elipsóide. A função é:
O gradiente de é:
Esse vetor é o vetor normal ao plano tangente no ponto do elipsóide.

Passo 4

Para que os planos tangentes sejam paralelos ao plano dado, os vetores normais devem ser proporcionais. Então, temos a equação:
onde é uma constante de proporcionalidade.
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver a equação (1) para :
Substituindo nas equações (2) e (3):
De (2):
De (3):

Passo 6

Agora, sabemos que e . Vamos substituir esses valores na equação do elipsóide para encontrar os valores de :
Simplificando:

Passo 7

Vamos somar os termos semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por 3:

Passo 8

Agora que temos os valores de , podemos encontrar e correspondentes:
Para :
Para :

Passo 9

Portanto, os pontos no elipsóide que satisfazem a condição são:
e

Resposta

Os pontos são e .

Exercícios relacionados

Encontre uma reta horizontal y = k que divida a área englobada pelas curvas y = x^2 e y = 9 em duas partes iguais.
Se f(x, y) = arctg(x - 2y), determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto 2,1, f(2,1) ).
Mostre que a equação do plano tangente à superfície x^2 + y^2 + z^2 = 9 no ponto P=(2,1,2) coincide com o plano tangente ao gráfico de z = raiz(9 - x^2 - y^2) no mesmo ponto. Dê uma interpretação gráfica para o fato.
Dê uma estimativa para o valor de k(0 < k < 1), tal que a região englobada por y = 1 / raiz(1 - x^2), y = x, x = 0 e x = k tenha uma área de 1 unidade.