Se , determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de no ponto ).
Passo 1
Nesse exercício, a gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de para identificar o ponto completo no espaço.
Então, o ponto é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão as inclinações nas direções de cada variável, essenciais para determinar o plano tangente.
A derivada de em relação a é:
Então,
Passo 4
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a reta normal ao gráfico no ponto dado, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é dado por . No nosso caso: