Se f(x, y) = arctg(x - 2y), determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto 2,1, f(2,1) ).

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de para identificar o ponto completo no espaço.
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão as inclinações nas direções de cada variável, essenciais para determinar o plano tangente.
A derivada de em relação a é:
Então,

Passo 4

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar a reta normal ao gráfico no ponto dado, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é dado por . No nosso caso:
A equação paramétrica da reta normal é:
Onde são as componentes do vetor normal.
Substituindo:

Resposta

Plano Tangente:
Reta Normal:

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