Suponha que a temperatura
num ponto
é dada por
. Determine a taxa de variação de
no ponto
com respeito ao vetor
. Em que direção e sentido
cresce mais rapidamente nesse ponto? Qual a taxa máxima de crescimento?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função de temperatura
num ponto específico
. Precisamos descobrir três coisas:
- Taxa de variação de
naquele ponto na direção do vetor . - Direção e sentido em que
cresce mais rápido nesse ponto. - Taxa máxima de crescimento de
nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente e suas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável.
A fórmula do gradiente é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
:
Substituindo
,
, e
na expressão do gradiente:
Passo 4
A taxa de variação de
na direção do vetor
é conhecida como derivada direcional. A fórmula para a derivada direcional é:
Onde
é o vetor unitário na direção de
.
Primeiro, vamos transformar
em um vetor unitário
.
Passo 5
Para encontrar o vetor unitário
, divide-se cada componente de
pelo seu módulo (comprimento). O módulo de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente no ponto
e o vetor unitário
:
Fazendo o produto escalar:
Passo 7
Agora, para encontrar a direção e sentido em que
cresce mais rapidamente, basta observar o gradiente. Ele aponta nessa direção. Então, o gradiente
indica a direção de maior crescimento de
.
Para expressar essa direção como um vetor unitário, fazemos:
Passo 8
Finalmente, a taxa máxima de crescimento de
é igual ao módulo do gradiente. Calculando:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
. A direção em que
cresce mais rapidamente nesse ponto é na direção do gradiente
e o sentido é o mesmo do gradiente. A taxa máxima de crescimento de
nesse ponto é
.
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).
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