Suponha que a temperatura T num ponto P(x, y, z) é dada por T(x, y, z) = 2*x^2 - y^2 + 4*z^2. Determine a taxa de variação de T no ponto 1, -2, 1 com respeito ao vetor 4i - j + 2k. Em que direção e sentido T cresce mais rapidamente nesse ponto? Qual a taxa máxima de crescimento?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função de temperatura num ponto específico . Precisamos descobrir três coisas:
  1. Taxa de variação de naquele ponto na direção do vetor .
  2. Direção e sentido em que cresce mais rápido nesse ponto.
  3. Taxa máxima de crescimento de nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente e suas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável.
A fórmula do gradiente é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico :
Substituindo , , e na expressão do gradiente:

Passo 4

A taxa de variação de na direção do vetor é conhecida como derivada direcional. A fórmula para a derivada direcional é:
Onde é o vetor unitário na direção de .
Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário .

Passo 5

Para encontrar o vetor unitário , divide-se cada componente de pelo seu módulo (comprimento). O módulo de é:
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente no ponto e o vetor unitário :
Fazendo o produto escalar:

Passo 7

Agora, para encontrar a direção e sentido em que cresce mais rapidamente, basta observar o gradiente. Ele aponta nessa direção. Então, o gradiente indica a direção de maior crescimento de .
Para expressar essa direção como um vetor unitário, fazemos:

Passo 8

Finalmente, a taxa máxima de crescimento de é igual ao módulo do gradiente. Calculando:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é . A direção em que cresce mais rapidamente nesse ponto é na direção do gradiente e o sentido é o mesmo do gradiente. A taxa máxima de crescimento de nesse ponto é .

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