Mostre que a equação do plano tangente à superfície x^2 + y^2 + z^2 = 9 no ponto P=(2,1,2) coincide com o plano tangente ao gráfico de z = raiz(9 - x^2 - y^2) no mesmo ponto. Dê uma interpretação gráfica para o fato.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o plano tangente à superfície no ponto é o mesmo que o plano tangente ao gráfico da função nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar planos tangentes tanto para superfícies implícitas quanto para gráficos de funções. Vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente para achar as equações dos planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o plano tangente à superfície no ponto . Essa superfície é uma esfera com raio 3 centrada na origem.
Para achar o plano tangente a uma superfície definida por uma equação em um ponto , a fórmula é:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas:
No ponto :
Agora, substituindo na fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Então, a equação do plano tangente à esfera no ponto é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o plano tangente ao gráfico da função no mesmo ponto .
Para encontrar o plano tangente a uma função de duas variáveis no ponto , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, vamos calcular e :
Usando a regra da cadeia:
No ponto :
Agora, substituindo na fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o decimal:

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas equações dos planos tangentes que encontramos:
  1. Plano tangente à esfera:
  1. Plano tangente ao gráfico de :
Vemos que as duas equações são exatamente iguais. Portanto, os planos tangentes coincidem no ponto .

Passo 5

Para interpretar isso graficamente, imagine a superfície da esfera e o gráfico da função . O gráfico de é justamente a “parte superior” da esfera, pois estamos considerando apenas os valores positivos de .
No ponto , os planos tangentes às duas superfícies coincidem. Isso significa que, naquele ponto específico, a inclinação e a orientação do plano que toca a esfera e o plano que toca o gráfico de são exatamente as mesmas. Graficamente, isso mostra que a função é uma representação parcial da esfera, e no ponto , ambas as superfícies “tocam-se” de maneira suave, compartilhando o mesmo plano tangente.

Resposta

As equações dos planos tangentes à esfera e ao gráfico da função no ponto são iguais, ou seja:
Isso significa que os planos tangentes coincidem nesse ponto.

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