Encontre a reta tagente à função no ponto .

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse exercício. A questão pede para encontrar a reta tangente à função no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função. Vamos precisar calcular a derivada de e avaliar essa derivada em para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea, ou seja, a inclinação da reta tangente naquele ponto.
A derivada de em relação a é 1, e a derivada de é .
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar as coordenadas do ponto de tangência na função quando . Substituímos na função original:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 7

Finalmente, vamos simplificar a equação para a forma :

Resposta

A reta tangente à função no ponto é:

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