Encontre as retas tangente e normal à circunferência de centro e raio 2 , pelos pontos de abscissa . Faça o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as retas tangente e normal a uma circunferência cujo centro é o ponto e tem raio 2. Vamos fazer isso para pontos que estão na linha vertical onde , ou seja, na abscissa zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação da circunferência, retas tangentes e normais, e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da circunferência. Sabemos que a forma geral é:
Aqui, e , então nossa circunferência é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar pontos na linha que são externos à circunferência, ou seja, pontos de onde traçaremos as retas tangente e normal à circunferência. Esses pontos têm a forma .

Passo 4

Para encontrar as retas tangente e normal, precisamos entender que a reta tangente a um círculo em um ponto de tangência é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo a esse ponto. Já a reta normal é simplesmente o raio em si.

Passo 5

Vamos supor que o ponto de tangência na circunferência seja . A condição para que a reta que passa por e seja tangente é que a distância do ponto ao centro da circunferência seja igual à hipotenusa formada pelo raio e a distância do ponto externo ao ponto de tangência.

Passo 6

Calculamos a distância entre e o centro usando a fórmula da distância:
Essa distância deve ser maior que o raio para existir tangentes, então .

Passo 7

Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, os pontos de abscissa de onde podemos traçar tangentes são aqueles onde .

Passo 8

Agora, vamos encontrar as equações das retas tangente e normal. Para isso, calculamos a inclinação da reta que liga a :
A reta tangente será perpendicular a essa, então a inclinação da tangente é:

Passo 9

Usando a equação da reta na forma ponto-inclinação, a reta tangente que passa por é:
Como está na circunferência, substituímos na equação da circunferência para encontrar os pontos de tangência.

Passo 10

Após resolver as equações, encontramos que existem duas retas tangentes para cada ponto externo com . As equações dessas retas tangentes são:
Simplificando, temos:

Passo 11

A reta normal é simplesmente a reta que conecta o ponto externo ao centro da circunferência, ou seja, a reta que já calculamos com inclinação :

Passo 12

Resumindo, para cada ponto com , temos:
  • Reta Tangente:
  • Reta Normal:

Resposta

As retas tangente à circunferência de centro e raio 2, partindo dos pontos com , são dadas por:
E as retas normais são:
Além disso, ao plotar no gráfico, cada ponto externo com estará conectado à circunferência pelas respectivas retas tangente e normal.

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Faça o gráfico de . Encontre as retas tangente e normal a essa curva num ponto genérico de abscissa . Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente) e interprete-o, geometricamente, em face do gráfico da função original.
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