.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
e provavelmente queremos encontrar a derivada dessa função em relação a
. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Precisaremos identificar as partes que compõem a função e aplicar essas regras para derivar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas:
Queremos encontrar
. Isso é a Regra do Produto: a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 3
Vamos derivar
:
Para derivar isso, usamos a Regra da Potência:
Aqui, derivamos o
trazendo o expoente pra frente e diminuindo ele em 1. O “1” vem da derivada interna de
, que é 1.
Passo 4
Agora, vamos derivar
:
Aqui usamos a Regra da Cadeia, porque temos uma função composta (seno de outra função):
Primeiro, derivamos o seno:
Onde
. Então, derivando
:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
O segundo termo tem
no numerador e denominador, então cancelam:
Resposta
A derivada da função é: