y = (x + 1)^2 * sen(1 / (x + 1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e provavelmente queremos encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Precisaremos identificar as partes que compõem a função e aplicar essas regras para derivar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas:
Queremos encontrar . Isso é a Regra do Produto: a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Vamos derivar :
Para derivar isso, usamos a Regra da Potência:
Aqui, derivamos o trazendo o expoente pra frente e diminuindo ele em 1. O “1” vem da derivada interna de , que é 1.

Passo 4

Agora, vamos derivar :
Aqui usamos a Regra da Cadeia, porque temos uma função composta (seno de outra função):
Primeiro, derivamos o seno:
Onde . Então, derivando :
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
O segundo termo tem no numerador e denominador, então cancelam:

Resposta

A derivada da função é:

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