f(x) = (3x^2 - 1)^(9/2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que nos foi pedido. Temos a função e precisamos encontrar a sua derivada. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é fundamental para derivar funções compostas.

Passo 2

Vamos identificar as partes da função para aplicar a regra da cadeia. A função é composta por uma função externa e uma função interna:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
Entender essas partes nos ajuda a aplicar a regra da cadeia de forma correta.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta , a derivada de em relação a é:
Ou seja, derivamos a função externa em relação à função interna e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 4

Vamos derivar a função externa em relação a :
Essa é a derivada da parte externa da nossa função.

Passo 5

Agora, derivamos a função interna em relação a :
Essa é a derivada da parte interna da nossa função.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, combinamos as derivadas que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes:
Portanto, a derivada fica:

Resposta

A derivada de é:

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