Faça o gráfico de
. Encontre as retas tangente e normal a essa curva num ponto genérico de abscissa
. Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente)
e interprete-o, geometricamente, em face do gráfico da função original.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função
para
, encontrar as retas tangente e normal nessa curva num ponto qualquer onde a abscissa é
. Além disso, vamos derivar essa função para achar
, fazer o gráfico da derivada e entender o que isso significa em relação ao gráfico original. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função que envolve uma raiz quadrada, o que significa que o valor dentro da raiz,
, deve ser maior ou igual a zero para termos números reais. Por isso, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada dessa função para descobrir o declive da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
em relação a
nos dá exatamente isso.
A função é:
Podemos reescrever a raiz quadrada como potência:
Usando a regra da potência para derivar:
Então, a derivada é:
Passo 4
Com a derivada em mãos, podemos achar a reta tangente no ponto
. Primeiro, encontramos o valor de
nesse ponto:
Agora, o declive da tangente nesse ponto é:
Usando a equação da reta tangente:
Essa é a equação da reta tangente no ponto
.
Passo 5
Para encontrar a reta normal, que é perpendicular à tangente, precisamos do declive que é o inverso negativo do declive da tangente. Então:
Usando a equação da reta normal:
Essa é a equação da reta normal no ponto
.
Passo 6
Vamos agora plotar a derivada
. Essa função nos mostra como o declive da tangente varia conforme
muda. Observando o gráfico da derivada:
- Quando
aumenta, aumenta, tornando menos negativo. - Isso significa que a inclinação da tangente fica menos inclinada para baixo à medida que nos movemos para a direita no gráfico da função original.
Geometricamente, isso indica que a curva
está se achatando à medida que
aumenta.
Resposta
Resumindo, traçamos o gráfico de
para
, calculamos a derivada
para encontrar o declive da tangente em qualquer ponto
. Com isso, derivamos as equações das retas tangente
e normal
. Finalmente, ao plotar a derivada, entendemos que a inclinação da reta tangente diminui em magnitude conforme
aumenta, refletindo que a curva se torna menos inclinada para baixo à medida que avançamos no gráfico.
Exercícios relacionados
Encontre as retas tangente e normal à circunferência de centro
e raio 2 , pelos pontos de abscissa
. Faça o gráfico.