Faça o gráfico de . Encontre as retas tangente e normal a essa curva num ponto genérico de abscissa . Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente) e interprete-o, geometricamente, em face do gráfico da função original.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função para , encontrar as retas tangente e normal nessa curva num ponto qualquer onde a abscissa é . Além disso, vamos derivar essa função para achar , fazer o gráfico da derivada e entender o que isso significa em relação ao gráfico original. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função que envolve uma raiz quadrada, o que significa que o valor dentro da raiz, , deve ser maior ou igual a zero para termos números reais. Por isso, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada dessa função para descobrir o declive da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de em relação a nos dá exatamente isso.
A função é:
Podemos reescrever a raiz quadrada como potência:
Usando a regra da potência para derivar:
Então, a derivada é:

Passo 4

Com a derivada em mãos, podemos achar a reta tangente no ponto . Primeiro, encontramos o valor de nesse ponto:
Agora, o declive da tangente nesse ponto é:
Usando a equação da reta tangente:
Essa é a equação da reta tangente no ponto .

Passo 5

Para encontrar a reta normal, que é perpendicular à tangente, precisamos do declive que é o inverso negativo do declive da tangente. Então:
Usando a equação da reta normal:
Essa é a equação da reta normal no ponto .

Passo 6

Vamos agora plotar a derivada . Essa função nos mostra como o declive da tangente varia conforme muda. Observando o gráfico da derivada:
  • Quando aumenta, aumenta, tornando menos negativo.
  • Isso significa que a inclinação da tangente fica menos inclinada para baixo à medida que nos movemos para a direita no gráfico da função original.
Geometricamente, isso indica que a curva está se achatando à medida que aumenta.

Resposta

Resumindo, traçamos o gráfico de para , calculamos a derivada para encontrar o declive da tangente em qualquer ponto . Com isso, derivamos as equações das retas tangente e normal . Finalmente, ao plotar a derivada, entendemos que a inclinação da reta tangente diminui em magnitude conforme aumenta, refletindo que a curva se torna menos inclinada para baixo à medida que avançamos no gráfico.

Exercícios relacionados

.
.
Encontre as retas tangente e normal à circunferência de centro e raio 2 , pelos pontos de abscissa . Faça o gráfico.
.