.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função . Nosso objetivo aqui é encontrar a série de Taylor (ou série de Maclaurin) dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela se aplica a essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma infinita que segue a forma:
onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos consecutivos.
Essa série converge (ou seja, tem um valor finito) se a razão satisfaz a condição .

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa função com a forma da série geométrica. Observamos que podemos reescrever a função da seguinte maneira:
Aqui, identificamos que:
  • (quando , temos ),
  • .
Mas lembre-se, para a série convergir, precisamos que .

Passo 4

Então, concluindo, a série de Maclaurin para a função é a soma infinita dos termos , começando de .

Resposta

A série de Maclaurin de é:
válida para .

Exercícios relacionados

.
Encontre as retas tangente e normal à circunferência de centro e raio 2 , pelos pontos de abscissa . Faça o gráfico.
.