.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
. Nosso objetivo aqui é encontrar a série de Taylor (ou série de Maclaurin) dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela se aplica a essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma infinita que segue a forma:
onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão comum entre os termos consecutivos.
Essa série converge (ou seja, tem um valor finito) se a razão
satisfaz a condição
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa função
com a forma da série geométrica. Observamos que podemos reescrever a função da seguinte maneira:
Aqui, identificamos que:
-
(quando , temos ), -
.
Mas lembre-se, para a série convergir, precisamos que
.
Passo 4
Então, concluindo, a série de Maclaurin para a função
é a soma infinita dos termos
, começando de
.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
válida para
.
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. Faça o gráfico.