Encontre as retas tangentes as curvas no ponto
Além disso, desenhe o gráfico juntamente com as retas tangentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai encontrar as retas tangentes à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 2.
Passo 4
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais clara:
Então, a equação da reta tangente é .
Passo 6
Agora, vamos desenhar o gráfico da função junto com a reta tangente no ponto .
[Aqui você pode imaginar o gráfico de uma parábola com uma reta que toca a parábola apenas no ponto (1,1), com inclinação 2.]
Resposta
As retas tangentes à curva no ponto são dadas pela equação: