Encontre as retas tangentes as curvas y = x^2 no ponto 1,1
Além disso, desenhe o gráfico juntamente com as retas tangentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai encontrar as retas tangentes à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 2.

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais clara:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos desenhar o gráfico da função junto com a reta tangente no ponto .
[Aqui você pode imaginar o gráfico de uma parábola com uma reta que toca a parábola apenas no ponto (1,1), com inclinação 2.]

Resposta

As retas tangentes à curva no ponto são dadas pela equação:

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