Encontre o volume do sólido que resulta quando a regão delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y. x = y^2, x = y + 2, R = 72 * pi / 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas e gira em torno do eixo . Isso envolve cálculo de volumes por rotação, uma parte da matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos usar o método dos discos ou anéis e integrar as áreas das seções transversais ao longo do eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Igualando :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são e . Esses serão os limites inferior e superior da nossa integração.

Passo 3

Agora, vamos determinar as funções que representam os raios dos discos. Como estamos girando em torno do eixo , o raio externo ® será dado pela função mais à direita, que é , e o raio interno ® será pela função . A área de cada anel é dada por:
Á

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Á
Agora, configuramos a integral para encontrar o volume:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Então, o volume é:
Calculando os valores nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é .

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