Encontre o volume do sólido que resulta quando a regão delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas
e
gira em torno do eixo
. Isso envolve cálculo de volumes por rotação, uma parte da matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos usar o método dos discos ou anéis e integrar as áreas das seções transversais ao longo do eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Igualando
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são
e
. Esses serão os limites inferior e superior da nossa integração.
Passo 3
Agora, vamos determinar as funções que representam os raios dos discos. Como estamos girando em torno do eixo
, o raio externo ® será dado pela função mais à direita, que é
, e o raio interno ® será pela função
. A área de cada anel é dada por:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, configuramos a integral para encontrar o volume:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Então, o volume é:
Calculando os valores nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é
.