Encontre o rot
para o campo vetorial dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o rot de um campo vetorial dado por . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre o rotacional de um vetor. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como calcular o rotacional de um campo vetorial em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional (ou rot) de um campo vetorial. Em duas dimensões, se tivermos um campo vetorial
, o rotacional é dado por:
Esse rotacional nos dá uma medida da tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial necessária:
- Derivada parcial de
em relação a :
Como não depende de
, essa derivada é zero:
- Derivada parcial de
em relação a :
Como
não depende de
, essa derivada também é zero:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do rotacional:
Resposta
O rot
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
12a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
12a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
Sendo
definida implicitamente pela equação
para
e
, encontre uma expressão
para o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de
, para os pontos onde
.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
14a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
14a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(b)
(b)