Encontre o rot f para o campo vetorial dado: f(x, y) = <cos(x), -sen(y)>

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o rot de um campo vetorial dado por . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre o rotacional de um vetor. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como calcular o rotacional de um campo vetorial em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional (ou rot) de um campo vetorial. Em duas dimensões, se tivermos um campo vetorial , o rotacional é dado por:
Esse rotacional nos dá uma medida da tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos identificar e no nosso campo vetorial:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial necessária:
  1. Derivada parcial de em relação a :
Como não depende de , essa derivada é zero:
  1. Derivada parcial de em relação a :
Como não depende de , essa derivada também é zero:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do rotacional:

Resposta

O rot é igual a .

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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
12a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) = cos(x) + (x^2 + 1) sen(x)
Sendo x = f(y) definida implicitamente pela equação x^2 - x * raiz(x * y) + 2 * y^2 = 10 para x > 0 e y > 0, encontre uma expressão m(x, y) para o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de f(y), para os pontos onde x^(3/2) - 8*y^(3/2) != 0.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
14a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) = cos(x + x^2)
Sabendo que sen'(x) = cos(x) e cos(x) = -sen(x). Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(b) sec(x) = 1/cos(x)