Sabendo que sen'(x) = cos(x) e cos(x) = -sen(x). Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(b) sec(x) = 1/cos(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a derivada dessa função usando a regra do quociente. Além disso, precisamos determinar as assíntotas verticais dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a regra do quociente para derivar funções que são divisões de outras funções. Também vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e como encontrá-las.

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que, se temos uma função , a derivada dela é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos identificar as derivadas de e :
  • então porque a derivada de uma constante é zero.
  • então, como dado na questão, .

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Podemos reescrever como , então a derivada fica:
Sabemos que , então podemos escrever a derivada como:
Isso porque , então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais da função . Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Como , precisamos encontrar os valores de onde .
Sabemos que quando:

Passo 7

Portanto, as assíntotas verticais de estão nos pontos onde , onde é qualquer número inteiro. Isso significa que a função tende ao infinito positivo ou negativo nesses pontos.

Resposta

A derivada de é . As assíntotas verticais da função ocorrem em , onde é qualquer número inteiro.

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