Sendo
definida implicitamente pela equação
para
e
, encontre uma expressão
para o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de
, para os pontos onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma equação que relaciona
e
, e pede para encontrarmos a inclinação da reta normal ao gráfico de
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando
e
estão ligados de forma indireta.
A equação que temos é:
Queremos achar a expressão
que representa o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de
nos pontos onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a derivada implícita na nossa equação original. Vamos derivar cada termo da equação em relação a
:
Passo 3
Vamos derivar cada termo:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a . Aqui precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a é zero.
Passo 4
Agora, substituímos todas as derivadas na equação original:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 5
Primeiro, distribuímos o sinal negativo:
Agora, vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 6
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Simplificando os coeficientes de
:
Passo 7
Isolamos
:
Então, dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, queremos encontrar a inclinação da reta normal, que é
. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Ou seja:
Substituindo
:
Resposta
A expressão para o coeficiente angular da reta normal é:
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, onde
é o volume de água (em litros) no tanque após thoras. Explique o que o limite representa no contexto do problema.
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, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
12a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
12a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
Encontre o rot
para o campo vetorial dado: