Sendo x = f(y) definida implicitamente pela equação x^2 - x * raiz(x * y) + 2 * y^2 = 10 para x > 0 e y > 0, encontre uma expressão m(x, y) para o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de f(y), para os pontos onde x^(3/2) - 8*y^(3/2) != 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma equação que relaciona e , e pede para encontrarmos a inclinação da reta normal ao gráfico de . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando e estão ligados de forma indireta.
A equação que temos é:
Queremos achar a expressão que representa o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de nos pontos onde .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a derivada implícita na nossa equação original. Vamos derivar cada termo da equação em relação a :

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a . Aqui precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia:
Para derivar , usamos a regra da cadeia:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a é zero.

Passo 4

Agora, substituímos todas as derivadas na equação original:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 5

Primeiro, distribuímos o sinal negativo:
Agora, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm :
Simplificando os coeficientes de :

Passo 7

Isolamos :
Então, dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, queremos encontrar a inclinação da reta normal, que é . A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Ou seja:
Substituindo :

Resposta

A expressão para o coeficiente angular da reta normal é:

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