Encontre o rot f para o campo vetorial dado: f(x, y) = < e^x cos(y), e^x sen(y) >

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o rot de um campo vetorial dado. “Rot” é uma abreviação para rotacional, que é uma medida de quanto um campo vetorial está girando em torno de um ponto. Para essa resolução, vamos precisar entender o que é rotacional e como calcular utilizando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes do campo vetorial . Aqui, temos:

Passo 3

O rotacional em duas dimensões é dado pela fórmula:
Ou seja, precisamos calcular a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular :
Pois a derivada de em relação a é , e é tratado como uma constante.

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Aqui, a derivada de em relação a é , e é constante em relação a .

Passo 6

Substituindo as derivadas na fórmula do rotacional:

Resposta

O rot do campo vetorial dado é .

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Nos exercícios 3 a 6, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y^2 = 2x, y = 0 e x = 2.
Encontre o rotacional dos campos vetoriais: u = <y, z, x>;
Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
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Justifique as seguintes questões: u = < y^2 * z, -z^2 * sen(y) + 2 * x * y * z, 2 * z * cos(y) + y^2 * x > é irrotacional.$