Encontre o rot
para o campo vetorial dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o rot de um campo vetorial dado. “Rot” é uma abreviação para rotacional, que é uma medida de quanto um campo vetorial está girando em torno de um ponto. Para essa resolução, vamos precisar entender o que é rotacional e como calcular utilizando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes do campo vetorial . Aqui, temos:
Passo 3
O rotacional em duas dimensões é dado pela fórmula:
Ou seja, precisamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Pois a derivada de
em relação a
é
, e é tratado como uma constante.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é , e
é constante em relação a
.
Passo 6
Substituindo as derivadas na fórmula do rotacional:
Resposta
O rot
do campo vetorial dado é .
Exercícios relacionados
Nos exercícios 3 a 6, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Encontre o rotacional dos campos vetoriais:
;
Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Justifique as seguintes questões:
é irrotacional.$