Para quais valores, se houver, das constantes a e b o campo vetorial
u = <y cos(x) + a x z, b sen(x) + z, x^2 + y> é irrotacional?é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir para quais valores das constantes e o campo vetorial
é irrotacional. Isso significa que a gente precisa verificar quando a rotação (ou o rotacional) desse campo é igual a zero. Na matéria de Cálculo Vetorial, um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional for o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial . O rotacional é dado por:
Então, vamos identificar , e no nosso campo vetorial:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente do rotacional separadamente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 4

Agora, juntando tudo, o rotacional fica:
Para o campo vetorial ser irrotacional, cada componente do rotacional deve ser zero em todo o espaço. Então, temos que:

Passo 5

Vamos analisar as equações:
  1. A primeira equação já está satisfeita.
  2. Para valer para todo , precisamos que , ou seja, .
  3. Para valer para todo , como não é sempre zero, precisamos que , ou seja, .

Resposta

As constantes e devem ser, respectivamente, e para que o campo vetorial seja irrotacional.

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