Para quais valores, se houver, das constantes e o campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir para quais valores das constantes e o campo vetorial
é irrotacional. Isso significa que a gente precisa verificar quando a rotação (ou o rotacional) desse campo é igual a zero. Na matéria de Cálculo Vetorial, um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional for o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial . O rotacional é dado por:
Então, vamos identificar , e no nosso campo vetorial:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional separadamente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Passo 4
Agora, juntando tudo, o rotacional fica:
Para o campo vetorial ser irrotacional, cada componente do rotacional deve ser zero em todo o espaço. Então, temos que:
Passo 5
Vamos analisar as equações:
A primeira equação já está satisfeita.
Para valer para todo , precisamos que , ou seja, .
Para valer para todo , como não é sempre zero, precisamos que , ou seja, .
Resposta
As constantes e devem ser, respectivamente, e para que o campo vetorial seja irrotacional.