Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de limites aqui. A questão é encontrar o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda da expressão:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre limites, frações algébricas e manipulação de expressões algébricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Para isso, vamos combinar as duas frações em uma única fração. Isso envolve encontrar um denominador comum.
Passo 3
Observamos que o denominador do segundo termo
pode ser fatorado. Sabemos que:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Agora, vamos colocar as duas frações sobre o mesmo denominador
:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão simplificada é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando
se aproxima de 2 pelo lado esquerdo (
):
- Numerador (
): Quando se aproxima de 2, se aproxima de 1. - Denominador (
): -
: Aproxima-se de 0, mas como vem pela esquerda, fica ligeiramente negativo. -
: Aproxima-se de 4, que é positivo.
-
Então, o denominador está se aproximando de um valor muito próximo de 0, mas negativo.
Passo 6
Com isso, a expressão inteira fica:
Quando dividimos um número positivo por um número muito pequeno e negativo, o resultado tende a menos infinito.