Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de limites aqui. A questão é encontrar o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda da expressão:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre limites, frações algébricas e manipulação de expressões algébricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Para isso, vamos combinar as duas frações em uma única fração. Isso envolve encontrar um denominador comum.
Passo 3
Observamos que o denominador do segundo termo
pode ser fatorado. Sabemos que:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Agora, vamos colocar as duas frações sobre o mesmo denominador
:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão simplificada é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando
se aproxima de 2 pelo lado esquerdo (
):
- Numerador (
): Quando se aproxima de 2, se aproxima de 1. - Denominador (
): -
: Aproxima-se de 0, mas como vem pela esquerda, fica ligeiramente negativo. -
: Aproxima-se de 4, que é positivo.
-
Então, o denominador está se aproximando de um valor muito próximo de 0, mas negativo.
Passo 6
Com isso, a expressão inteira fica:
Quando dividimos um número positivo por um número muito pequeno e negativo, o resultado tende a menos infinito.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
Temos que
e
, determine um
positivo tal que
sempre que
. Faça uma interpretação geométrica desse limite.
Seja
Quais são os valores de para que
esteja definida?
Quais são os valores de
Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo.
Calcule
, para cada caso
.