Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo. lim s 2^-(1s-2-3s^2-4);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de limites aqui. A questão é encontrar o limite quando lim s 2^-(1s-2-3s^2-4) se aproxima de 2 pela esquerda da expressão:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre limites, frações algébricas e manipulação de expressões algébricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Para isso, vamos combinar as duas frações em uma única fração. Isso envolve encontrar um denominador comum.

Passo 3

Observamos que o denominador do segundo termo s^2 - 4 = (s - 2)(s + 2) pode ser fatorado. Sabemos que:
1s - 2 - 3(s - 2)(s + 2)
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, vamos colocar as duas frações sobre o mesmo denominador 1 cdot (s + 2)(s - 2)(s + 2) - 3(s - 2)(s + 2) = s + 2 - 3(s - 2)(s + 2) :
s + 2 - 3 = s - 1
Simplificando o numerador:
s - 1(s - 2)(s + 2)
Então, a expressão simplificada é:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo ( ):
  • Numerador ( ): Quando se aproxima de 2, se aproxima de 1.
  • Denominador ( ):
    • : Aproxima-se de 0, mas como vem pela esquerda, fica ligeiramente negativo.
    • : Aproxima-se de 4, que é positivo.
Então, o denominador está se aproximando de um valor muito próximo de 0, mas negativo.

Passo 6

Com isso, a expressão inteira fica:
1número muito pequeno e negativo ú
Quando dividimos um número positivo por um número muito pequeno e negativo, o resultado tende a menos infinito.

Resposta

lim s 2^-(1s-2-3s^2-4) = -infty

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