Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo. ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de limites aqui. A questão é encontrar o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda da expressão:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre limites, frações algébricas e manipulação de expressões algébricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Para isso, vamos combinar as duas frações em uma única fração. Isso envolve encontrar um denominador comum.

Passo 3

Observamos que o denominador do segundo termo pode ser fatorado. Sabemos que:
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, vamos colocar as duas frações sobre o mesmo denominador :
Simplificando o numerador:
Então, a expressão simplificada é:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo ( ):
  • Numerador ( ): Quando se aproxima de 2, se aproxima de 1.
  • Denominador ( ):
    • : Aproxima-se de 0, mas como vem pela esquerda, fica ligeiramente negativo.
    • : Aproxima-se de 4, que é positivo.
Então, o denominador está se aproximando de um valor muito próximo de 0, mas negativo.

Passo 6

Com isso, a expressão inteira fica:
ú
Quando dividimos um número positivo por um número muito pequeno e negativo, o resultado tende a menos infinito.

Resposta

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Seja
Temos que e , determine um positivo tal que sempre que . Faça uma interpretação geométrica desse limite.
Seja
Quais são os valores de para que esteja definida?
Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo.
Calcule , para cada caso .